Matematyka.pl

Zbadaj spójność podanej przestrzeni:
\(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] }\) w \(\displaystyle{ \RR ^{2} }\) z dr (metryką rzeką).
Moim pomysłem na rozwiązanie tego zadania jest skorzystanie z faktu, że iloczyn kartezjański zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym.
Czy w tym przypadku wystarczy, że udowodnię spójność odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right], \RR }\) z dr czy muszę wziąć pod uwagę osobno odcinek poziomy i pionowy?

W ten sposób się nie da, bo fakt działa gdy na iloczynie kartezjańskim jest metryka (lub topologia) produktowa, a tutaj jest metryka rzeka. Najprościej wykazać, że każde dwa punkty przestrzeni dają się połączyć drogą ciągłą w tej metryce. Weź więc dowolne dwa punkty \(\displaystyle{ (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in [0, 1]^2}\) i pomyśl, jak zdefiniować taką drogę.

Czy chodzi tu o łukową spójność? Dla dwóch punktów \(\displaystyle{ x,y \in [0,1] ^{2} }\) musi istnieć odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f: [0,1]\rightarrow [0,1] ^{2} }\) ,takie że\(\displaystyle{ f(0)=x, f(1)=y }\), \(\displaystyle{ f(t)=ty+(1-t)x}\) tylko co dalej?

Jesteś pewna, że to odwzorowanie jest ciągłe? Tu odległość mierzy się inaczej; punkty, które leżą blisko na odcinku wcale nie są blisko w tej metryce.

Nie będzie ono ciągłe. Jak zdefiniować taką drogę łączącą dwa dowolne punkty? W metryce rzece odległość mierzymy na dwa sposoby w zależności od położenia punktów, dla \(\displaystyle{ (a,b),(x,y) \in \RR ^{2} }\) jeśli \(\displaystyle{ a=x}\) to odległość mierzymy tak jak w metryce eulidesowej, w przeciwnym przypadku mamy \(\displaystyle{ \left| x-a\right| + \left| b\right| + \left| y\right| }\) Czy wystarczy jak to narysuję?

No to pomyśl jak trzeba iść z punktu A do punktu B robiąc małe kroczki

Małe w metryce rzeka