Spójność i łukowa spójność

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 25 wrz 2024, o 10:12

Dzień dobry

Czy ten dowód jest w miarę poprawny (patrz załączniki)? Dlaczego? Czy możemy uznać, że dwa rozłączne okręgi (nieważne czy stykają się jednym punktem, czy też żadnym) są spójne i zwarte, ale nie są łukowo spójne, ponieważ musimy "przeskoczyć" z jednego zbioru do drugiego, co zaburza nam ciągłość przekształcenia ciągłego? Dlaczego? Bo na razie wiem tylko tyle, że spójność można definiować w przestrzeni metrycznej zbiorami domkniętymi, jak i otwartymi, ale żeby nie komplikować sobie życia, to korzystając z faktu "Każda metryka generuje topologię" lepiej definiować otwartymi.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 25 wrz 2024, o 13:30

krasnoludek10 pisze: ↑25 wrz 2024, o 10:12Czy możemy uznać, że dwa rozłączne okręgi (nieważne czy stykają się jednym punktem, czy też żadnym) są spójne i zwarte, ale nie są łukowo spójne, ponieważ musimy "przeskoczyć" z jednego zbioru do drugiego, co zaburza nam ciągłość przekształcenia ciągłego?

Nie. Zbiór składający się z dwóch okręgów, które są rozłączne, nie jest spójny, zaś zbiór składający się z dwóch okręgów stykających się jednym punktem jest łukowo spójny.

Natomiast pomysł, żeby rozwiązanie przedstawić jako ciąg skanów sprawia, że od razu spada ochota na jego lekturę.

JK

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 25 wrz 2024, o 14:00

To jaki może być przykład zbioru spójnego i zwartego, który nie jest łukowo spójny?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 25 wrz 2024, o 15:50

Tu masz przykłady: https://topology.pi-base.org/spaces?q=Connected%2B%7EPath+connected%2BCompact.

Przy okazji: to, co Ty nazywasz "łukową spójnością" jest zazwyczaj definiowane jako "drogowa spójność". W łukowej spójności chodzi o homeomorficzny, a nie tylko ciągły obraz odcinka.

JK

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 25 wrz 2024, o 15:56

Racja, mój błąd. Zapomniałem dodać, że temat pochodzi z zagadnienia "Niezmienniki przekształceń ciągłych" (spójność, zwartość, otwartość, domkniętość itp.), który ściśle wiąże się z homeomorfizmami

Dodano po 5 godzinach 4 minutach 40 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑25 wrz 2024, o 15:50 Tu masz przykłady: https://topology.pi-base.org/spaces?q=Connected%2B%7EPath+connected%2BCompact.

Przy okazji: to, co Ty nazywasz "łukową spójnością" jest zazwyczaj definiowane jako "drogowa spójność". W łukowej spójności chodzi o homeomorficzny, a nie tylko ciągły obraz odcinka.

JK

Z całym szacunkiem, ale moja wiedza topologiczna chyba aż tak daleko nie sięga, bo te przykłady wydają mi się dość skomplikowane. Z angielskim jest trochę lepiej.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 25 wrz 2024, o 21:58

krasnoludek10 pisze: ↑25 wrz 2024, o 21:01 Z całym szacunkiem, ale moja wiedza topologiczna chyba aż tak daleko nie sięga, bo te przykłady wydają mi się dość skomplikowane. Z angielskim jest trochę lepiej.

A kto powiedział, że istnieją prostsze? Skąd u Ciebie nagle potrzeba znalezienia przestrzeni spójnej i zwartej, która nie jest drogowo spójna?

JK

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 25 wrz 2024, o 23:36

Po prostu, aby udowodnić, że każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, ale na odwrót już niekoniecznie. A że Pan Engelking umieścił w swojej książce takie zadanie, gdzie jednocześnie zbiór musi być zwarty.. No cóż... Też tego nie rozumiem dlaczego nie może po prostu być spójny.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 26 wrz 2024, o 01:59

krasnoludek10 pisze: ↑25 wrz 2024, o 23:36Po prostu, aby udowodnić, że każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, ale na odwrót już niekoniecznie.

Na to są prostsze przykłady, np. https://en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve.

krasnoludek10 pisze: ↑25 wrz 2024, o 23:36A że Pan Engelking umieścił w swojej książce takie zadanie, gdzie jednocześnie zbiór musi być zwarty.. No cóż... Też tego nie rozumiem dlaczego nie może po prostu być spójny.

Bo to inne zadanie.

JK

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 26 wrz 2024, o 18:11

Z ciekawości zadałem sobie trud i przeczytałem pierwszy dowód Chata własności, że

Przestrzeń łukowo spójna jest spójna.

Jak zauważył Jan Kraszewski w tym dowodzie nie jest użyta standardowa definicja łukowej spójności, więc miejmy to w razie czego na uwadze.

Dowód przebiega zaskakująco prawidłowo aż do punktu 5. Sprzeczność.

W tym to punkcie Chat operuje mglistym pojęciem "przekształcenie musi przechodzić z \(\displaystyle{ U}\) do \(\displaystyle{ V}\)" i równie mglistym "punkt leży na granicy między \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)". Następnie Chat stwierdza, że istnieje punkt w zbiorze wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\), który nie leży ani w \(\displaystyle{ U}\) ani w \(\displaystyle{ V}\) (co oczywiście szybko prowadzi do sprzeczności). Dla mnie jednak jest to krok dowodowy w żaden sposób nie uzasadniony, tym bardziej że dowód standardowy (ten który znam) przebiega zupełnie inaczej.

Pozdrawiam

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 26 wrz 2024, o 20:48

Z ciekawości zadałem sobie trud i przeczytałem pierwszy dowód Chata własności, że

W takim razie chętnie poznam dowód standardowy, najlepiej połączony z Chatowym, ale niekoniecznie

Oczywiście uwzględniający, że łukową spójność rozumiemy w sensie homeomorficznym, co już wcześniej zostało wyjaśnione w związku z zagadnieniem, w którym on został umieszczony, czyli "Niezmienniki przekształceń ciągłych"

PS. U Pana Engelkinga nie znalazłem definicji ani drogowej spójności, ani łukowej, więc chętnie poznam obie i relacje między nimi. No i oczywiście czy wszystkie są niezmiennikami przekształceń ciągłych

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 26 wrz 2024, o 22:14

Dowód standardowy do punktu 4 jest taki sam jak Chata, natomiast sprzeczność polega na tym, że zbiory \(\displaystyle{ U\cap f([0,1])}\) oraz \(\displaystyle{ V\cap f([0,1])}\) stanowią podział zbioru spójnego \(\displaystyle{ f([0,1])}\) na dwa niepuste, otwarte i rozłączne podzbiory.

krasnoludek10 pisze: ↑26 wrz 2024, o 20:48 PS. U Pana Engelkinga nie znalazłem definicji ani drogowej spójności, ani łukowej, więc chętnie poznam obie i relacje między nimi. No i oczywiście czy wszystkie są niezmiennikami przekształceń ciągłych

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_sp%C3%B3jna#Sp%C3%B3jno%C5%9B%C4%87_drogowa_i_%C5%82ukowa

Jak rozumiesz niezmiennik przekształceń ciągłych?

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 26 wrz 2024, o 23:49

To już rano odpowiem na to pytanie. Natomiast w chwili obecnej udowodniliśmy, że każda przestrzeń drogowo spójna jest spójna, tak? I żeby udowodnić, że łukowo spójna też, to musimy przejść przez drogową spójność? Jak? Tak po prostu korzystając z definicji homeomorfizmu, czyli tego, że jest to bijekcja, funkcja ciągła i funkcja odwrotna też ciągła?

Tak mnie jeszcze naszło. Czy jeżeli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest ośrodkowa (to znaczy zbiór przeliczalny i gęsty), to przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y}\) też będzie, jeżeli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest homeomorfizmem?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 26 wrz 2024, o 23:58

krasnoludek10 pisze: ↑26 wrz 2024, o 23:49Natomiast w chwili obecnej udowodniliśmy, że każda przestrzeń drogowo spójna jest spójna, tak?

Tak.

krasnoludek10 pisze: ↑26 wrz 2024, o 23:49 I żeby udowodnić, że łukowo spójna też, to musimy przejść przez drogową spójność? Jak? Tak po prostu korzystając z definicji homeomorfizmu, czyli tego, że jest to bijekcja, funkcja ciągła i funkcja odwrotna też ciągła?

Każda przestrzeń łukowo spójna jest drogowo spójna wprost z definicji, bo każdy homeomorfizm jest funkcją ciągłą.

JK

Dodano po 3 minutach 18 sekundach:

krasnoludek10 pisze: ↑26 wrz 2024, o 23:49 Tak mnie jeszcze naszło. Czy jeżeli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest ośrodkowa (to znaczy zbiór przeliczalny i gęsty), to przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y}\) też będzie, jeżeli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest homeomorfizmem?

Tak, to łatwo udowodnić, obraz zbioru przeliczalnego gęstego będzie przeliczalny gęsty.

JK

krasnoludek10 · Post autor: **krasnoludek10** » 27 wrz 2024, o 11:52

matmatmm pisze: ↑26 wrz 2024, o 22:14 Jak rozumiesz niezmiennik przekształceń ciągłych?

Def. 1. \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ V \subset Y}\) punktu \(\displaystyle{ f(x)}\) istnieje otoczenie \(\displaystyle{ U \subset X}\), które jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(U) \subset V}\).

Def. 2. Przekształcenie \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), gdzie \(\displaystyle{ (X, O)}\), \(\displaystyle{ (Y, O')}\) są przestrzeniami topologicznymi, nazywamy przekształceniem ciągłym, gdy dla \(\displaystyle{ U \in O'}\) mamy \(\displaystyle{ f^{-1}(U) \in O}\); tj. jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X}\).

Def. 3. Mówimy, że własność \(\displaystyle{ w}\) jest niezmiennikiem przekształceń ciągłych z klasy \(\displaystyle{ P}\), jeśli przekształcenia z \(\displaystyle{ P}\) zachowują własność \(\displaystyle{ w}\), tj. jeśli dla każdego \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y \in P}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ w}\), to \(\displaystyle{ Y}\) też. Inaczej mówiąc, jest to własność, która jest zachowywana przy homeomorfizmach.

Z tego co się orientuję, to inną nazwą jest niezmiennik topologiczny.

PS. Czy sinusoida zagęszczona, sinusoida warszawska i zamknięta krzywa sinusoidalna topologa są innymi nazwami na to samo zagadnienie? Jak najprościej udowodnić, że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego jest otwarty/domknięty? Czy w podanym temacie spełnione są analogiczne warunki, jeżeli chodzi o obraz? Prawdopodobnie tak, ale dlaczego?

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 27 wrz 2024, o 15:24

krasnoludek10 pisze: ↑27 wrz 2024, o 11:52 Def. 3. Mówimy, że własność \(\displaystyle{ w}\) jest niezmiennikiem przekształceń ciągłych z klasy \(\displaystyle{ P}\), jeśli przekształcenia z \(\displaystyle{ P}\) zachowują własność \(\displaystyle{ w}\), tj. jeśli dla każdego \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y \in P}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ w}\), to \(\displaystyle{ Y}\) też. Inaczej mówiąc, jest to własność, która jest zachowywana przy homeomorfizmach.

Zdanie niebieskie mówi coś innego niż czerwone. Skąd pochodzi ta definicja?

Jak najprościej udowodnić, że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego jest otwarty/domknięty?

Ale przez co?

Matematyka.pl

Spójność i łukowa spójność

Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność