Matematyka.pl

Proszę o pomoc w zadaniu, ponieważ nie mam pojęcia jak się za nie zabrać:

Wykaż, że przestrzeń X spełnia warunek \(\displaystyle{ T_1}\) iff przekątna \(\displaystyle{ \Delta}\)={ \(\displaystyle{ (x,x):x\in X}\)} w produkcie\(\displaystyle{ X \times X}\) jest przekrojem rodziny zbiorów otwartych.-- 28 sty 2013, o 14:33 --1. Udowadniam że każda przestrzeń \(\displaystyle{ T_2}\) jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_1}\)
Niech \(\displaystyle{ (X,\tau)}\) bedzie przestrzenią Hausdorffa oraz \(\displaystyle{ x\in X}\). Weźmy y ze zbioru \(\displaystyle{ X \setminus {x}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y \neq x}\), więc istnieją rozłączne zbiory otwarte U i V takie, że \(\displaystyle{ y\in U, x\in V}\). Oczywiście \(\displaystyle{ x\notin U}\), więc \(\displaystyle{ U \subset X \setminus {x}}\). W rezultacie \(\displaystyle{ y\in Int (X \setminus {x}}\), co prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ X \setminus {x}}\) jest otwarty. Wtedy z faktu, że {x} jest domknięty wnosimy, że X jest \(\displaystyle{ T_1}\) przestrzenią.

2. Wykazuję, że przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ (X,\tau)}\) jest \(\displaystyle{ T_2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna \(\displaystyle{ \Delta}\) zbioru \(\displaystyle{ X\times X}\), tzn zbiór {\(\displaystyle{ (x,x):x\in X}\)} jest zbiorem domknietym w przestrzeni \(\displaystyle{ (X\times X,\tau_{X\timesX})}\).

3. Udowadniam że każdy zbiór domknięty jest typu \(\displaystyle{ G_\delta}\)

4. \(\displaystyle{ G_\delta}\) jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

czy takie rozumowanie ma sens? Bardzo proszę o podpowiedź.

Na pewno nie jest poprawne.

Nie masz założone, że Twoja przestrzeń jest \(\displaystyle{ T_2}\), więc nie możesz skorzystać z warunku równoważnego na \(\displaystyle{ T_2}\), o którym wspominałaś.

Niech \(\displaystyle{ x,y\in X , x \neq y .}\) Ponieważ, \(\displaystyle{ (x,y)\notin \Delta}\) oraz \(\displaystyle{ (x,x) \in \Delta}\) więc istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ V\subset X\times X}\) taki, że \(\displaystyle{ (x,y)\notin V .}\) Istnieją więc zbiór otwarty \(\displaystyle{ V_1 \subset X}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ (x,x)\in V_1 \times V_1 \subset V .}\) Zatem \(\displaystyle{ x\in V_1 , y\notin V_1}\) oraz \(\displaystyle{ V_1}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X .}\)