Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 28 lut 2014, o 19:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Mam problem z tymi pytaniami:
\(\displaystyle{ 1.}\) Istnieje, taka przestrzeń topologiczna, która zawiera dokładnie 3 podzbiory domknięto-otwarte.
\(\displaystyle{ 2.}\) Składowa łukowej spójności punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) zawsze zawiera składową punktu \(\displaystyle{ x \in X}\)
Czy \(\displaystyle{ sin( \frac{1}{x} )}\) i składowa spójności w \(\displaystyle{ 0}\) jest dobrym kontrprzykładem?
\(\displaystyle{ 3.}\) Niech \(\displaystyle{ A \subset R ^{2}}\) będzie spójnym, gęstym i otwartym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej. Wówczas \(\displaystyle{ A = R^{2}}\)
W 3 doszłam doszłam tylko do zawierania w jedną stronę:
\(\displaystyle{ A \subset {\overline{A}} = R \times R}\)
\(\displaystyle{ 1.}\) Istnieje, taka przestrzeń topologiczna, która zawiera dokładnie 3 podzbiory domknięto-otwarte.
\(\displaystyle{ 2.}\) Składowa łukowej spójności punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) zawsze zawiera składową punktu \(\displaystyle{ x \in X}\)
Czy \(\displaystyle{ sin( \frac{1}{x} )}\) i składowa spójności w \(\displaystyle{ 0}\) jest dobrym kontrprzykładem?
\(\displaystyle{ 3.}\) Niech \(\displaystyle{ A \subset R ^{2}}\) będzie spójnym, gęstym i otwartym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej. Wówczas \(\displaystyle{ A = R^{2}}\)
W 3 doszłam doszłam tylko do zawierania w jedną stronę:
\(\displaystyle{ A \subset {\overline{A}} = R \times R}\)
Ostatnio zmieniony 28 lut 2014, o 21:23 przez nmmjm93, łącznie zmieniany 2 razy.
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
1. \(\displaystyle{ X=A\cup B\cup C}\) i \(\displaystyle{ A,B,C}\) są d-o. Więc także d-o są \(\displaystyle{ A\cup B}\), \(\displaystyle{ A\cup C}\), \(\displaystyle{ B\cup C}\) i są wzajemnie różne, jeśli różne są \(\displaystyle{ A,B,C}\).
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
3. Bez sensu. Jaki jest zbiór gęsty? Jego domknięcie to całość. A więc domknięty zbiór gęsty to całość niezależnie od spójności. Ktoś przeholował z założeniami.
Masz gotowce do dwóch zadań.
Masz gotowce do dwóch zadań.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 28 lut 2014, o 19:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
W 3 sprawdzilłam i było jednak założenie o otwartości \(\displaystyle{ A}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
W 1. chyba istnieje. Na przykład
\(\displaystyle{ [0, 1] \cup [2, 3]}\)
z podzbiorami
\(\displaystyle{ [0, 1], \ [2, 3], \ [0, 1] \cup [2, 3].}\)
\(\displaystyle{ [0, 1] \cup [2, 3]}\)
z podzbiorami
\(\displaystyle{ [0, 1], \ [2, 3], \ [0, 1] \cup [2, 3].}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Całą przestrzeń napisałem, zbioru pustego nie. No to faktycznie chyba nie istnieje.
Edit: Myślę, że ogólnie jeśli podzbiorów otwarto-domkniętych ma być skończenie wiele, to możemy oznaczyć przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę składowych spójności tej przestrzeni i wtedy zbiorów otwarto-domkniętych jest \(\displaystyle{ 2^n.}\) Każdy taki zbiór jest bowiem sumą niektórych składowych spójności.
Edit: Myślę, że ogólnie jeśli podzbiorów otwarto-domkniętych ma być skończenie wiele, to możemy oznaczyć przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę składowych spójności tej przestrzeni i wtedy zbiorów otwarto-domkniętych jest \(\displaystyle{ 2^n.}\) Każdy taki zbiór jest bowiem sumą niektórych składowych spójności.
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Z dwoma istnieje. Singleton Z czterema też: dwa singletony z topologią dyskretną.
-
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Ogólnie, to jeśli liczba podzbiorów d-o jest skończona, to na pewno jest parzysta, gdyż dopełnienie zbioru domknięto-otwartego jest zbiorem domknięto-otwartym. Teza Dasio11 jest silniejsza, ale moja wystarczy.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Z wyjątkiem jednego przypadku, w którym dopełnienie zbioru domknięto-otwartego jest nim samym i wówczas rozumowanie nie działa. W jedynej przestrzeni, w której taki podzbiór istnieje, jest wtedy \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\) podzbiorów domknięto-otwartych.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 28 lut 2014, o 19:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
W 3. przychodzi mi tylko do głowy to, że jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest spójnym, gęstym, otwartym pozdbiorem, to nie istnieje rozkład \(\displaystyle{ R \times R = U \cup V}\), taki że \(\displaystyle{ U \cap A = \o}\) oraz \(\displaystyle{ V \cap A \neq \o}\)
A z tego, że \(\displaystyle{ R \times R}\) jest zbiorem otwartym, spójnym i \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, spójny, gęsty możemy wywnioskować, równość.
A z tego, że \(\displaystyle{ R \times R}\) jest zbiorem otwartym, spójnym i \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, spójny, gęsty możemy wywnioskować, równość.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte
Jak a4karo słusznie stwierdza, istnieje kontrprzykład w zadaniu trzecim. Musisz poszukać takiego otwartego, gęstego i spójnego \(\displaystyle{ A \subseteq \RR^2,}\) że \(\displaystyle{ A \neq \RR^2.}\)