Matematyka.pl

Wskazać przykład nie jednopunktowej przeliczalnej i spójnej przestrzeni Hausdorffa. Czy istnieje nie jednopunktowa przeliczalna i spójna przestrzeń regularna ? Czy istnieje nie jednopunktowa przeliczalna i spójna przestrzeń metryczna ?

Ta przestrzeń jest przeliczalna i spójna. Szczegóły w Steen, Seebach, Counterexamples in Topology, Ex 75

mol_ksiazkowy pisze: ↑29 kwie 2023, o 11:22 Czy istnieje niejednopunktowa przeliczalna i spójna przestrzeń regularna?

Na wiki piszą, że każda przeliczalna przestrzeń regularna jest normalna. Jeśli to prawda, to nie ma takiej przestrzeni.
Niech \(X\) będzie co najmniej dwupunktową, spójną przestrzenią normalną.
Ustalmy różne \(x,y\in X\). Zbiory \(\lbrace x \rbrace\), \(\lbrace y \rbrace\ \) są domknięte i rozłączne, więc z lematu Urysona istnieje ciągła \(f:X\rightarrow [0,1]\) taka, że \(f(x)=0, \ f(y)=1\). Sprawdźmy, że \(f\) ma własność Darboux: gdyby dla pewnego \(a\in (0,1)\) nie istniał \(z\in X\) taki, że \(f(z)=a\), to mielibyśmy, że \(X=f^{-1}[[0,a)]\cup f^{-1}[(a,1]]\) i \(X\) nie byłaby spójna. Zatem dla każdego \(a\in (0,1)\) istnieje \(x_{a}\in X\), dla którego \(f(x_{a})=a\). Funkcja \(g:(0,1)\rightarrow X\), \(g(a)=x_{a}\) jest 1-1, więc \(X\) ma co najmniej continuum wiele punktów.

Czy istnieje niejednopunktowa przeliczalna i spójna przestrzeń metryczna?

Też nie.
Niech \(\langle X, d \rangle\) będzie co najmniej dwupunktową i co najwyżej przeliczalną przestrzenią metryczną. Ustalmy \(x,y\in X\) takie, że \(x\neq y\). Załóżmy nie wprost, że dla każdego \(r\in (0, \ d(x,y))\) istnieje \(x_{r}\in X\) taki, że \(d(x_{r}, x)=r\). Funkcja \(f:(0, \ d(x,y))\rightarrow X\), \(f(r)=x_{r}\) jest 1-1, bo gdy mamy, że \(x_{r}=x_{s}\), to \(d(x_{r},x)=r=s=d(x_{s},x)\). Zatem \(|X|\ge \mathfrak{c}\) - sprzeczność. Istnieje więc \(r\in (0, \ d(x,y))\) takie, że dla każdego \(z\in X\) mamy \(d(z,x)\neq r\), z czego wynika, że \(B_{r}(x)=\lbrace z\in X: d(z,x)\le r \rbrace\) jest niepustym zbiorem otwarto-domkniętym o niepustym dopełnieniu - \(X\) jest niespójna.