Przestrzenie metryczne
- yvonna
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 26 lut 2006, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 23 razy
Przestrzenie metryczne
Witam, otóż nie za bardzo wiem jak zabrać się za to zadanie:
Niech X będzie dowolnym zbiorem, a d metryką w X. Pokaż, że:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}\)
to metryka w X.
Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, tylko wskazówki jak się za to zabrać Bo chciałabym to zrozumieć..
Będę wdzięczna za pomoc.
Niech X będzie dowolnym zbiorem, a d metryką w X. Pokaż, że:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}\)
to metryka w X.
Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, tylko wskazówki jak się za to zabrać Bo chciałabym to zrozumieć..
Będę wdzięczna za pomoc.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Przestrzenie metryczne
No jak mamy pokazac, to raczej jest, wiec trzeba wykazac wszystkie warunki.
No wiec lecim:
1. \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0}\)
Dla mnie oczywiste, a dla Ciebie?
2. \(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
Raczej tez oczywiste przydaloby sie czyms podeprzec.
Na koniec nierownosc trojkata:
3. \(\displaystyle{ f(x,z) \le f(x,y)+f(y,z)}\)
No i tu pewnie bedzie trzeba sie troszke nagimnastykowac...
No wiec lecim:
1. \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0}\)
Dla mnie oczywiste, a dla Ciebie?
2. \(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
Raczej tez oczywiste przydaloby sie czyms podeprzec.
Na koniec nierownosc trojkata:
3. \(\displaystyle{ f(x,z) \le f(x,y)+f(y,z)}\)
No i tu pewnie bedzie trzeba sie troszke nagimnastykowac...
-
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
Przestrzenie metryczne
Musisz zbadać, czy ta funkcja jest nieujemna i spełnia następujące własności:
1. niezdegenerowana, tzn.
\(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
2. symetryczność:
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x)}\)
3. warunek trójkąta
\(\displaystyle{ f(x,y) \le f(x,z)+f(z,y)}\)
Pyzol zapomniał o symetryczności..
1. niezdegenerowana, tzn.
\(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
2. symetryczność:
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x)}\)
3. warunek trójkąta
\(\displaystyle{ f(x,y) \le f(x,z)+f(z,y)}\)
Pyzol zapomniał o symetryczności..
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Przestrzenie metryczne
Mimo wszystko jak nie dasz rady nierówności trójkąta to krzycz, znalazłem zeszyt gdzie mam to rozpisaneyvonna pisze:
Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, tylko wskazówki jak się za to zabrać
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Przestrzenie metryczne
pyzol pisze:https://www.matematyka.pl/78629.htm
Co do nierownosci, ale nie sprawdzalem
ja mam dość podobnie, tylko wcześniej pozbywam się ułamków, jakby co to wrzucę .
- yvonna
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 26 lut 2006, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 23 razy
Przestrzenie metryczne
Dziękuję za dotychczasowe wskazówki
Jeśli chodzi o nierówność trójkąta to Psiaczek byłam bym wdzięczna za Twoje rozwiązanie i pozbycie się tych ułamków
Jeśli chodzi o nierówność trójkąta to Psiaczek byłam bym wdzięczna za Twoje rozwiązanie i pozbycie się tych ułamków
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Przestrzenie metryczne
czyli oznaczam \(\displaystyle{ d(x,y)=a,d(x,z)=b, d(y,z)=c}\)
do pokazania jest:
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a}+ \frac{b}{1+b} \ge \frac{c}{1+c}}\)
mnożę przez dodatnie wyrażenie \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) stronami
\(\displaystyle{ a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c) \ge c(1+a)(1+b)}\)
\(\displaystyle{ (a+ab)(1+c)+(b+ab)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)
\(\displaystyle{ (a+2ab+b)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (a+b+ab+1)c-(a+2ab+b)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (1-ab)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b+abc \ge c}\)
\(\displaystyle{ (a+b)+(2ab+abc) \ge c}\)
ostatnia nierówność jest prawdziwa bo drugi składnik nieujemny , a pierwszy składnik większy niż c - obydwie te rzeczy wynikają z faktu że wyjściowa \(\displaystyle{ d}\) była metryką
do pokazania jest:
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a}+ \frac{b}{1+b} \ge \frac{c}{1+c}}\)
mnożę przez dodatnie wyrażenie \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) stronami
\(\displaystyle{ a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c) \ge c(1+a)(1+b)}\)
\(\displaystyle{ (a+ab)(1+c)+(b+ab)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)
\(\displaystyle{ (a+2ab+b)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (a+b+ab+1)c-(a+2ab+b)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (1-ab)c}\)
\(\displaystyle{ a+2ab+b+abc \ge c}\)
\(\displaystyle{ (a+b)+(2ab+abc) \ge c}\)
ostatnia nierówność jest prawdziwa bo drugi składnik nieujemny , a pierwszy składnik większy niż c - obydwie te rzeczy wynikają z faktu że wyjściowa \(\displaystyle{ d}\) była metryką