Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Wybierzmy punkt \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) i przyjmijmy za \(\displaystyle{ T}\) rodzinę złożoną ze wszystkich zbiorów niezawierających punktu \(\displaystyle{ x_0}\) oraz ze zbiorów postaci \(\displaystyle{ X \setminus F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest skończonym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Czy wiecie jak sprawdzić czy ta przestrzeń jest metryczna (znam warunki, że odległość równa 0 tylko wtedy gdy x=y itd., ale dobranie odpowiednich zbiorów może być już problematyczne)? Czy w przypadku przestrzeni Sierpińskiego, aby pokazać że jest topologiczna, ale nie metryczna wystarczy wypisać rodzinę zbiorów otwartych jeśli na tablicy ją narysowałem i omówiłem a prowadzący pytał się tylko o uściślenie topologii i powiedzieć, że nie da się określić odległości pomiędzy punktami w sposób ciągły i nieskończony?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Dasio11 »

Ta przestrzeń nigdy nie jest metryczna z powodów formalnych, bo przestrzeń metryczna to taka z ustaloną metryką. Właściwe pytanie jest o to, czy przestrzeń jest metryzowalna, czyli czy można znaleźć metrykę zgodną z topologią. Opisana przestrzeń jest metryzowalna dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny.

By wykazać, że przestrzeń Sierpińskiego jest topologiczna, musisz sprawdzić, że spełnia aksjomaty. By zaś stwierdzić, że nie jest metryzowalna, najprościej przytoczyć fakt, że przestrzenie metryzowalne są \(\displaystyle{ T_1}\), a przestrzeń Sierpińskiego nie. Taki argument:
Tomasz22 pisze: 16 maja 2023, o 20:43powiedzieć, że nie da się określić odległości pomiędzy punktami w sposób ciągły i nieskończony?
nie ma żadnego sensu.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

Dobrze, ale co to znaczy, że z powodów formalnych? Mojemu prowadzącemu na pewno nie wystarczy takie wyjaśnienie. Staram się szukać trywialnych przykładów przestrzeni topologicznych, które nie są metryczne, ale nawet w książkach nie mogę ich znaleźć. Nie mogę również powiedzieć o metryzowalności, ponieważ wprowadzam ją dopiero po tych przykładach. Wcześniej natomiast podałem twierdzenie, że każda przestrzeń metryczna jest topologiczna.
Ostatnio zmieniony 18 maja 2023, o 18:07 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie cytuj całego posta bez potrzeby.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 14:49Dobrze, ale co to znaczy, że z powodów formalnych?
To znaczy, że nie możesz badać, czy przestrzeń jest metryczna nie mając zadanej funkcji, która mogłaby być metryką. Przestrzeń metryczna to struktura składająca się ze zbioru i pewnej rzeczywistej funkcji dwóch zmiennych na tym zbiorze - dopóki nie masz funkcji, to rozważania na temat przestrzeni metrycznej są bezprzedmiotowe. Nie jestem pewny, czy przypadkiem nie utożsamiacie terminów metryczna i metryzowalna.
Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 14:49Staram się szukać trywialnych przykładów przestrzeni topologicznych, które nie są metryczne, ale nawet w książkach nie mogę ich znaleźć.
To ja Ci podam trywialny przykład: prosta rzeczywista z topologią wyznaczoną przez bazę składającą się z przedziałów otwartych. :)

Choć, jak rozumiem, szukasz raczej przykładów przestrzeni topologicznych, które nie są metryzowalne (ta z mojego przykładu oczywiście jest metryzowalna).

JK
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

W takim razie jak znaleźć przykłady przestrzeni topologicznych, które nie są metryczne? Nie są metryczne czyli nie istnieje ABSOLUTNIE ŻADNA metryka spełniająca aksjomaty przestrzeni metrycznej (nieujemność, symetria, nierówność trójkąta). Natomiast metryzowalność mówi o istnieniu metryki zgodnej z topologią czyli rodziną zbiorów otwartych. Ale w bardzo wielu przypadkach nawet dowód przez sprzeczność jest dość skomplikowany... Czy wówczas taki wniosek jest poprawny?

W tym przypadku, warto zwrócić uwagę na pewną istotną cechę zbioru \(\displaystyle{ X}\), a mianowicie to, że w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ x_0}\), który został usunięty, czyli nie jest zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Z tego wynika, że nie możemy mierzyć odległości od tego punktu \(\displaystyle{ x_0}\), ponieważ nie istnieje on w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).

Możemy zauważyć, że aby metryka \(\displaystyle{ d}\) na \(\displaystyle{ X}\) spełniała aksjomat odległości, musi przyporządkować każdej parze punktów z \(\displaystyle{ X}\) dodatnią wartość odległości. Jednak w przypadku punktu \(\displaystyle{ x_0}\), nie możemy znaleźć takiej odległości, ponieważ nie jest on obecny w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). To prowadzi do sprzeczności, ponieważ nie możemy zdefiniować odległości od punktu, który nie należy do przestrzeni.

Wniosek z tego jest taki, że dla tego konkretnego zbioru nieskończonego \(\displaystyle{ X}\), z którego wyrzucamy punkt \(\displaystyle{ x_0}\), nie można zdefiniować metryki, która spełnia aksjomaty przestrzeni metrycznej.
Ostatnio zmieniony 18 maja 2023, o 19:48 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie cytuj całego posta bez potrzeby.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 17:30W takim razie jak znaleźć przykłady przestrzeni topologicznych, które nie są metryczne? Nie są metryczne czyli nie istnieje ABSOLUTNIE ŻADNA metryka spełniająca aksjomaty przestrzeni metrycznej (nieujemność, symetria, nierówność trójkąta).
Przecież to pytanie nie ma sensu: dowolny zbiór możesz zmetryzować metryką dyskretną.
Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 17:30Natomiast metryzowalność mówi o istnieniu metryki zgodnej z topologią czyli rodziną zbiorów otwartych. Ale w bardzo wielu przypadkach nawet dowód przez sprzeczność jest dość skomplikowany... Czy wówczas taki wniosek jest poprawny?
Jaki wniosek?
Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 17:30W tym przypadku, warto zwrócić uwagę na pewną istotną cechę zbioru \(\displaystyle{ X}\), a mianowicie to, że w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ x_0}\), który został usunięty, czyli nie jest zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ X}\).
To zdanie jest bez sensu (podobnie jak reszta tego wywodu): zaczynasz od stwierdzenia, że do zbioru należy element, który do niego nie należy. Równie dobrze możesz zacząć rozumowanie od założenia, że \(\displaystyle{ 0=1.}\)

JK
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

To dlaczego w takim razie na studiach pytają się o przestrzenie topologiczne, które nie są metryczne....
Ostatnio zmieniony 18 maja 2023, o 19:50 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie cytuj całego posta bez potrzeby.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 17:54To dlaczego w takim razie na studiach pytają się o przestrzenie topologiczne, które nie są metryczne...
Już Ci napisałem:
Jan Kraszewski pisze: 18 maja 2023, o 15:07Nie jestem pewny, czy przypadkiem nie utożsamiacie terminów metryczna i metryzowalna.
I nie chodzi mi o formalne utożsamianie, tylko raczej potoczne.

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Dasio11 »

Tomasz22 pisze: 18 maja 2023, o 17:54 To dlaczego w takim razie na studiach pytają się o przestrzenie topologiczne, które nie są metryczne....
Zasadniczo Twoje początkowe pytania są o fakty matematyczne, a nie nazwy. Znajdź więc w notatkach lub skrypcie jak Wasi wykładowcy definiują przestrzeń metryczną (w szczegolności: co to znaczy, że przestrzeń topologiczna jest przestrzenią metryczną) i przytocz tu dosłownie tę definicję, to będzie można się skupić na matematyce zamiast na dochodzeniu do porozumienia w kwestiach terminologii.

Standardowo za przestrzeń metryczną uznaje się parę \(\displaystyle{ (X, d)}\), gdzie \(\displaystyle{ d : X \times X \to [0, \infty)}\) jest metryką (czyli funkcją spełniającą odpowiednie aksjomaty). Z kolei przestrzeń topologiczna to para \(\displaystyle{ (X, \tau)}\), gdzie \(\displaystyle{ \tau \subseteq \mathcal{P}(X)}\) jest topologią (czyli rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) również spełniającą pewne aksjomaty). Ale topologia to byt zupełnie innej kategorii niż metryka, zatem przestrzeń topologiczna z definicji nie może nigdy dosłownie być przestrzenią metryczną. Istnieje natomiast - również standardowy - sposób otrzymywania przestrzeni topologicznej z przestrzeni metrycznej. Przestrzenie z topologią, którą da się otrzymać w ten sposób z pewnej metryki, nazywa się metryzowalnymi - jednak ta abstrakcyjnie istniejąca metryka nie jest częścią struktury przestrzeni, zresztą może takich metryk być całe mnóstwo.

Jeśli u Was uznaje się, że przestrzenie topologiczne bywają metryczne, to Wasze wykłady odbiegają od standardowej terminologii i musisz przytoczyć z nich odpowiednie definicje, by było wiadomo, o co pytasz.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

Dasio11 pisze: 17 maja 2023, o 10:58 Ta przestrzeń nigdy nie jest metryczna z powodów formalnych, bo przestrzeń metryczna to taka z ustaloną metryką. Właściwe pytanie jest o to, czy przestrzeń jest metryzowalna, czyli czy można znaleźć metrykę zgodną z topologią. Opisana przestrzeń jest metryzowalna dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny.
A czy możesz jakoś uzasadnić, że \(\displaystyle{ X}\) musi być przeliczalny? Ewentualnie ktoś inny? Co do końcówki ostatniego posta z tego wątku - o ile jeśli "Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna" powinno być rozumiane jako "Każda metryka generuje topologię", to jestem "w domu".
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Dasio11 »

Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:21jeśli "Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna" powinno być rozumiane jako "Każda metryka generuje topologię", to jestem "w domu".
Dokładnie tak powinno być rozumiane.

Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:21A czy możesz jakoś uzasadnić, że \(\displaystyle{ X}\) musi być przeliczalny?
Rozważmy przestrzeń \(\displaystyle{ Y = \{ 0 \} \cup \left\{ \frac{1}{n} : n \in \NN \right\}}\) z metryką euklidesową \(\displaystyle{ d}\). Gdy \(\displaystyle{ y \in Y}\) i \(\displaystyle{ r>0}\), przez \(\displaystyle{ B(y, r)}\) oznaczamy kulę otwartą o środku w \(\displaystyle{ y}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\), tj.

\(\displaystyle{ B(y, r) = \{ y' \in Y : d(y', y) < r \}}\).

Zaczniemy od wykazania lematu: podzbiór \(\displaystyle{ V \subseteq Y}\) jest otwarty dokładnie wtedy, gdy zachodzi jeden z dwóch przypadków

(i) \(\displaystyle{ 0 \notin V}\),
(ii) \(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony.

Dowód: załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ V \subseteq Y}\) jest otwarty. Wykażemy, że \(\displaystyle{ V}\) spełnia (i) lub (ii). Jeśli \(\displaystyle{ 0 \notin V}\), to oczywiście zachodzi (i), więc załóżmy, że \(\displaystyle{ 0 \in V}\). Z definicji topologii generowanej przez metrykę istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że \(\displaystyle{ B(0, r) \subseteq V}\). Wtedy \(\displaystyle{ Y \setminus B(0, r)}\) jest skończony, bo należą tam tylko liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}, n \in \NN}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \ge r}\), a tych jest skończenie wiele. Tym bardziej więc \(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony, czyli zachodzi (ii).

Załóżmy teraz, że zachodzi (i) lub (ii). Sprawdzimy znów z definicji, że \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ Y}\). W tym celu ustalmy dowolny \(\displaystyle{ y \in V \setminus \{ 0 \}}\). Jest on postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Niech \(\displaystyle{ r = \frac{1}{n(n+1)}}\). Łatwym rachunkiem sprawdzamy, że dla każdego \(\displaystyle{ u \in Y}\) różnego od \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ d(y, u) \ge r}\), zatem \(\displaystyle{ B(y, r) = \{ y \}}\) i stąd \(\displaystyle{ B(y, r) \subseteq V}\). Wykazaliśmy więc, że dla każdego \(\displaystyle{ y \in V \setminus \{ 0 \}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ B(y, r) \subseteq V}\).

Jeśli zachodzi (i), to koniec - sprawdziliśmy z definicji, że \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty. Jeśli zaś (i) nie zachodzi, to musimy jeszcze sprawdzić, że warunek z poprzedniego akapitu spełnia sam punkt \(\displaystyle{ y = 0}\). Mamy z (ii), że \(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony, a więc ma element najmniejszy \(\displaystyle{ y_0}\). Skoro jest najmniejszy, to wszystkie \(\displaystyle{ y' \in Y}\), takie że \(\displaystyle{ y' < y_0}\), należą już do \(\displaystyle{ V}\). Zatem przyjmując \(\displaystyle{ r := y_0}\), mamy \(\displaystyle{ B(0, r) \subseteq V}\), tak jak chcemy. To kończy dowód lematu.


Udowodnimy teraz, że \(\displaystyle{ X}\) jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna.

W jedną stronę: jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny (nieskończony), to istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f : X \to Y}\), taka że \(\displaystyle{ f(x_0) = 0}\). Ponieważ warunki (i), (ii) są identyczne z tymi, które definiują topologię na \(\displaystyle{ X}\), łatwo wykazać korzystając z lematu, że \(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem. Wynika stąd, że jeśli przeniesiemy metrykę z \(\displaystyle{ Y}\) przez \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ X}\), tj. zdefiniujemy \(\displaystyle{ \varrho : X \times X \to [0, \infty)}\) wzorem

\(\displaystyle{ \varrho(x_1, x_2) = d(f(x_1), f(x_2))}\),

to ta metryka generuje naszą topologię na \(\displaystyle{ X}\). W szczególności - jest to przestrzeń metryzowalna, co należało wykazać.

W drugą stronę: załóżmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny. Wykażemy, że \(\displaystyle{ X}\) nie jest metryzowalna. Załóżmy nie wprost, że jest, i niech \(\displaystyle{ \varrho : X \times X \to [0, \infty)}\) będzie jakąś metryką generującą wskazaną topologię na \(\displaystyle{ X}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) kula \(\displaystyle{ B := B\left( x_0, \frac{1}{n} \right)}\) jest zbiorem otwartym, do którego należy \(\displaystyle{ x_0}\), zatem z definicji naszej topologii \(\displaystyle{ X \setminus B}\) jest zbiorem skończonym. Mamy więc

\(\displaystyle{ X \setminus \{ x_0 \} = \{ x \in X : d(x_0, x) > 0 \} = \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x \in X : d(x_0, x) \ge \frac{1}{n} \right\} = \bigcup_{n \in \NN} \underbrace{X \setminus B\left( x_0, \frac{1}{n} \right)}_{\text{skończony}}}\).

Zbiór po prawej stronie jest przeliczalny jako przeliczalna suma zbiorów skończonych. A zatem i zbiór po lewej stronie jest przeliczalny, więc cały \(\displaystyle{ X}\) także - co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Tomasz22 »

Jakoś łatwiej jest mi zapamiętać mój dowód. Czy jest on poprawny albo chociaż częściowo poprawny czyli załatwia nam implikację w obie strony albo chociaż w jedną?
Tomasz22 pisze: 3 cze 2023, o 17:54 Co do 9c - stwierdziłem, że jest to zdanie prawdziwe i chyba nawet wymyśliłem dlaczego. Gdyby ten zbiór nie był przeliczalny, to z definicji nie byłby równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych czyli kolokwialnie mówiąc nie można uporządkować go za pomocą liczb naturalnych a bardziej matematycznie nie istnieje bijekcja (czyli funkcja różnowartościowa i "na") z tego zbioru na zbiór liczb naturalnych czyli tym bardziej nie istnieje metryka, która przecież przyjmuje wartości od zera do nieskończoności wraz z zerem, a więc tym bardziej metryka zgodna z topologią.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń topologiczna - czy metryczna?

Post autor: Dasio11 »

Niestety, nie ma to żadnego sensu.
ODPOWIEDZ