Matematyka.pl

Dana jest baza \(\displaystyle{ \mathcal B}\) przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) oraz przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal C\subset \mathcal B}\) takie, że \(\displaystyle{ \mathcal C}\) jest pokryciem przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) oraz zachodzi warunek:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in U \in \mathcal B}\) oraz \(\displaystyle{ |U|>1}\) to istnieje \(\displaystyle{ V\in\mathcal C}\) takie, że \(\displaystyle{ x\in V\subset U}\).

Pytanie docelowe: Czy \(\displaystyle{ X}\) musi spełniać drugi aksjomat przeliczalności?
Pytanie pośrednie: Czy \(\displaystyle{ X}\) może mieć nieprzeliczalnie wiele punktów izolowanych?'

Póki co mam kontrprzykład, w którym \(\displaystyle{ \mathcal C}\) nie jest bazą \(\displaystyle{ X}\) właśnie ze względu na punkty izolowane (punktów izolowanych jest jednak mało i baza przeliczalna istnieje).

nie musi i może:

\(X\) --- nieprzeliczalna przestrzeń dyskretna

\(\mathcal B = \{\{x\} \colon x\in X\} \cup \{X\}\)

\(\mathcal C = \{X\}\)

Rzeczywiście, zbytnio uprościłem oryginalne założenia. W tej przestrzeni spełniony jest jeszcze taki warunek:

Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in U\in\mathcal B}\) oraz \(\displaystyle{ x\neq y}\), to istnieje \(\displaystyle{ V\in\mathcal C}\) taki, że \(\displaystyle{ x\in V, y\notin V}\).

wciąż nie musi i może

\(X=\{0,1\}^{\mathbb N}\) z topologią dyskretną

dla każdego skończonego ciągu binarnego \(\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots \varepsilon_k\) definiujemy \(A_{\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots\varepsilon_k} = \{(x_1,x_2,\ldots)\in X \colon x_1=\varepsilon_1, x_2=\varepsilon_2, \ldots, x_k=\varepsilon_k\}\)

kładziemy \(\mathcal C = \{A_{\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots \varepsilon_k} \colon \varepsilon_1\varepsilon_2\ldots\varepsilon_k \text{ jest skończonym ciągiem binarnym}\}\) i \(\mathcal B = \mathcal C \cup \{\{x\} \colon x \in X\}\)

Albo: \(\displaystyle{ X = \RR}\) z topologią dyskretną, \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) - rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych, \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ \{ x \} : x \in X \} \cup \mathcal{C}}\).