Najpierw:
Dla \(\displaystyle{ a,b \in\RR _{+},}\) niech:
\(\displaystyle{ S _{\left( a,b\right) }=\left\{ \left( x,y\right) \in \RR ^{2}: \ \ \frac{x ^{2} }{a ^{2} }+ \frac{y ^{2} }{b ^{2} } \le 1 \right\}; }\)
będzie powierzchnią ograniczoną przez elipsę o środku w początku układu i o półosiach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Niech dalej: \(\displaystyle{ k>0,k \neq 1.}\)
Rozważmy elipsę \(\displaystyle{ S _{\left( ka,kb\right) }.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ k>1}\), to i \(\displaystyle{ kb>b;}\) i niech:
\(\displaystyle{ S:=S _{\left( ka,kb\right) } \setminus S _{\left( a,b\right) }; }\)
będzie pierścieniem eliptycznym (tzn. obszarem leżącym pomiędzy tymi dwoma elipsami).
Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f:S \rightarrow S}\), która punktowi \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\) przypisuje punkt powstały w wyniku obrotu punktu \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) o \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) względem początku układu jest dobrze określoną, ciągłą bijekcją, bez punktów stałych.
Jeśli zaś \(\displaystyle{ k<1,}\) to \(\displaystyle{ ka<a}\) i \(\displaystyle{ kb<b;}\)
i rozważmy powierzchnię \(\displaystyle{ S _{ \left( ka,kb\right) }, }\) oraz rozważmy pierścień eliptyczny: \(\displaystyle{ S':=S _{ \left( a,b\right) } \setminus S _{\left( ka,kb\right) }.}\)
Wtedy podobnie funkcja \(\displaystyle{ f: S' \rightarrow S'}\) obrotu o \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} }\) względem początku układu jest dobrze określoną, ciągłą bijekcją, bez punktów stałych.\(\displaystyle{ \square}\)
Na podobnej zasadzie możemy rozważyć przestrzeń pomiędzy dwoma kulami trójwymiarowymi o środku \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right), }\) i w podobny sposób otrzymamy, że funkcja obrotu o \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} }\) jest dobrze określoną ciągłą bijekcją, bez punktów stałych.\(\displaystyle{ \square}\)
I jeszcze jeden przykład:
Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie punktem na płaszczyźnie, niech \(\displaystyle{ a,b \in \RR _{+};}\) i rozważmy powierzchnię \(\displaystyle{ S}\) ograniczoną przez elipsę o środku \(\displaystyle{ O}\) i o półosiach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), i niech: \(\displaystyle{ X=S \setminus \left\{ O\right\}. }\) Wtedy podobne jak powyżej funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow X}\) obrotu o \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} }\) względem punktu \(\displaystyle{ O}\) jest dobrze określoną ciągłą bijekcją, bez punktów stałych (w wyniku takiego obrotu jedynym punktem stałym mógłby być środek elipsy \(\displaystyle{ O}\), ale \(\displaystyle{ O\not \in X= S \setminus \left\{ O\right\} }\), a więc ten punkt jest punktem spoza dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\), a więc nie jest on punktem stałym tej funkcji, i funkcja ta nie ma punktów stałych).\(\displaystyle{ \square}\)
Na koniec chciałbym (zgodnie z zapowiedzią) podzielić się z Wami definicją przegródki pomiędzy dwoma rozłącznymi podzbiorami płaszczyzny:
Jeśli na płaszczyźnie mamy dwa rozłączne podzbiory, to powiększamy je 'deczko' do zbiorów otwartych, wtedy ich suma jest zbiorem otwartym, a więc dopełnienie takiej sumy jest zbiorem domkniętym, i taki zbiór nazywamy przegródką pomiędzy tymi danymi dwoma zbiorami (wewnętrznymi)- widać bowiem, że takie domknięte dopełnienie 'odgradza' te dwa dane zbiory w środku, stąd takie dopełnienie jest przegròdką pomiędzy tymi dwoma wewnętrznymi zbiorami (trzeba pamiętać, że przegródka jest zbiorem domkniętym, wszak przegroda kojarzy się z tym, że również cały jej ' brzeg' rozdziela dwa miejsca, dwa obszary, a więc powinien być to zbiór domknięty). Tą definicję przegródki najlepiej jest widać na pĺaszczyźnię, dla dwóch otwartych obszarów- wtedy nie musimy (w sposób istotny) powiększać takich zbiorów do zbiorów otwartych, bo przecież one już są otwarte; wtedy ich suma jest zbiorem otwartym, a więc dopełnienie takiej sumy jest zbiorem domkniętym; i widać, że to dopełnienie 'odgradza' te dwa zbiory otwarte, a stąd takie dopełnienie jest przegròdką pomiędzy tymi dwoma zbiorami otwartymi.
Dodano po 4 miesiącach 11 dniach 51 minutach 47 sekundach:
Oczywiście, wyraziłem się tu nieściśle, powinno być: powiększamy je, w dowolny sposób, do zbiorów otwartych. Co prawda, to powoduje, że pomiędzy dwoma danymi zbiorami na płaszczyźnie może istnieć wiele przegródek- a... bo to pojęcie przegródki to jest to chyba ogólne pojęcie topologiczne.Jakub Gurak pisze: 14 cze 2024, o 22:34 Na koniec chciałbym podzielić się z Wami definicją przegródki pomiędzy dwoma rozłącznymi podzbiorami płaszczyzny:
Jeśli na płaszczyźnie mamy dwa rozłączne podzbiory, to powiększamy je 'deczko' do zbiorów otwartych...
Dzisiaj, po raz drugi, zawiodła mnie moja pamięć -byłem święcie przekonany, że tego jeszcze nie rozważałem, a gdy zauważyłem przez przypadek swoje notatki na ten temat, to po chwili pomyślałem, że chociaż widzę, że to już rozważałem, ale pomyślałem, że zapewne tego jeszcze nie prezentowałem na forum, i ... znowu mnie pamięć zawiodła...Jakub Gurak pisze: 14 cze 2024, o 22:34 Na podobnej zasadzie możemy rozważyć przestrzeń pomiędzy dwoma kulami trójwymiarowymi o środku \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right), }\) i w podobny sposób otrzymamy, że funkcja obrotu o \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} }\) jest dobrze określoną ciągłą bijekcją, bez punktów stałych.\(\displaystyle{ \square}\)
Podobnie, jeśli mamy dwie elipsoidy \(\displaystyle{ S _{1} }\) i \(\displaystyle{ S _{2} }\) (w sensie: bryły trójwymiarowe), eliosoidy podobne, o środku w początku układu, to (powiedzmy, że \(\displaystyle{ S _{2} }\) ma większą objętość niż \(\displaystyle{ S _{1} }\)), to przestrzeń \(\displaystyle{ S:= S _{2} \setminus S _{1}}\) pomiędzy nimi można przekształcić w sposób homeomorficzny na samą siebie, bez punktów stałych. W tym celu definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:S \rightarrow S}\), która punktowi \(\displaystyle{ \left( x,y, z\right) }\) przypisuje punkt powstały po obrocie \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) }\) o \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} }\) wokół osi \(\displaystyle{ x.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest żądanym homeomorfizmem, bez punktów stałych.
Jednak nie prezentowałem na forum (bo pamiętam, że to sobie darowałem- jeśli znowu się mylę, to będę musiał iść do apteki po lek na pamięć
) następującego zagadnienia:Niech \(\displaystyle{ a,b\in\RR _{+}, }\) i \(\displaystyle{ a<b.}\)
Rozważmy dwa sześciany:
\(\displaystyle{ S _{1}:=\mathop{\stackrel{3}{P}}_{i=1} \left[ -a,a\right];}\) i:
\(\displaystyle{ S _{2}:=\mathop{\stackrel{3}{P}}_{i=1} \left[ - b,b\right].}\)
Wtedy dla przestrzeni \(\displaystyle{ S:=S _{2} \setminus S _{1} }\) pomiędzy nimi definiujemy przekształcenie: \(\displaystyle{ f:S \rightarrow S,}\) jako:
(niech \(\displaystyle{ M:=b-a>0}\)):
\(\displaystyle{ f\left( x,y,z\right)= \begin{cases} \left( x,y, z-M\right), \hbox{ jeśli } x<-a \hbox { i } z \ge -a; \\ \left( x+M,y,z\right), \hbox{ jeśli } z<-a \hbox{ i } x \le a; \\ \left( x,y, z +M\right), \hbox { jeśli } x>a \hbox{ i } z \le a; \\ \left( x-M, y,z\right); \hbox { jeśli } z>a \hbox{ i } x \ge -a.\end{cases} }\)
Jest to funkcja która przesuwa rozważaną przestrzeń o wektor długości \(\displaystyle{ M:=b-a}\) najpierw w dół poczynając od lewej górnej części tej przestrzeni, potem przestrzeń na dole przesuwamy w prawo, potem część po prawej stronie przesuwamy do góry, i na koniec górną część przesuwamy w lewo.
Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją (jako suma czterech bijekcji o rozłącznych dziedzinach i o rozłącznych przeciwdziedzinach) bez punktów stałych, ale niestety (tu moja intuicja mnie zawiodła) nie jest to funkcja ciągła. Aby to wykazać, pokażemy, używając definicji Heinego ciągłości funkcji, że nie jest to funkcja ciągła w punkcie \(\displaystyle{ \left( - b,- b,-a\right). }\) W tym celu rozważmy odcinek łączący punkt \(\displaystyle{ \left( -b,- b, -a\right)}\) z punktem \(\displaystyle{ \left( -b,-b,-b\right);}\) i rozważmy ciąg \(\displaystyle{ \left( x _{n},y _{n}, z _{n} \right) _{n \in \NN} }\) punktów tego odcinka zbieżny do punktu \(\displaystyle{ \left( -b,-b,-a\right) }\) (ciąg o wyrazach różnych od tego punktu). Wtedy ciąg wartości \(\displaystyle{ Y _{n}=f\left( x _{n},y _{n},z _{n}\right) }\) jest zbieżny do punktu \(\displaystyle{ \left( -b+M,-b,-a\right)=\left( -a,-b,-a\right) \neq f\left( -b,- b, -a\right)=\left( -b,-b, -b\right)}\). (Bo \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a \neq b}\)).
A zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ \left( - b,-b,-a\right).\square}\)
Podobne rozważania możemy przeprowadzić dla kwadratów na płaszczyźnie:
Niech \(\displaystyle{ a,b \in \RR _{+},a<b. }\)
Niech:
\(\displaystyle{ S:=\left( \left[ -b,-b\right] \times \left[ -b,-b\right] \right) \setminus \left( \left[ -a,a\right] \times \left[ -a,a\right] \right);}\)
będzie obszarem pomiędzy tymi dwoma kwadratami, będącymi składowymi powyższej różnicy zbiorów.
Wtedy definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:S \rightarrow S,}\) jako:
(niech \(\displaystyle{ M:=b-a>0}\)):
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \begin{cases} \left( x,y-M\right), \hbox {dla } x<-a,y \ge -a;\\ \left( x+M,y\right), \hbox{ dla } y<-a, x \ge a; \\ \left( x,y+M\right), \hbox { dla } x>a, y \le a; \\ \left( x-M,y\right), \hbox { dla } y<a,x \ge -a. \end{cases} }\)
Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją nie mającą punktów stałych, ale nie jest to funkcja ciągła.
Aby wykazać to ostatnie rozważmy ciąg \(\displaystyle{ \left( a _{n},b _{n} \right) _{n \in \NN _{+} } }\) elementów zbioru \(\displaystyle{ S,}\) dany jako:
\(\displaystyle{ \left( a _{n},b _{n} \right)=\left( -b,- \frac{b-a}{n}-a \right) \in S.}\)
Wtedy jest on zbieżny do punktu \(\displaystyle{ \left( - b,- a \right), }\) a wtedy ciąg wartości \(\displaystyle{ y _{n}=f\left( a_n, b _{n} \right) }\) jest zbieżny do punktu \(\displaystyle{ \left( -b+M,-a\right) = \left( -a,-a\right) \neq f\left( -b,-a\right)=\left( -b,-b \right);}\) (bo \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a \neq b}\)).
A zatem, na mocy definicji Heinego ciągłości funkcji, funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ \left(-b,-a\right).\square}\)
Na koniec dodam tutaj jeszcze jeden mały dowodzik:
Wykażemy, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest przechodnią rodziną zbiorów, to:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup x\right) \setminus x=\emptyset.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ a \in \bigcup x,}\) to \(\displaystyle{ a \in b,}\) dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ b \in x.}\) Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest przechodnia, to: \(\displaystyle{ a \in x}\), a zatem \(\displaystyle{ a\not\in \left( \bigcup x\right) \setminus x.}\) Z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ a}\), ponieważ każdy element nie należy do zbioru \(\displaystyle{ \left( \bigcup x\right) \setminus x, }\) więc otrzymujemy, że jest to zbiór pusty.\(\displaystyle{ \square}\)
