Jeśli \(\displaystyle{ \left( F _{n} \right) _{n \in \NN} }\) jest ciągiem podzbiorów płaszczyzny homeomorficznych z domkniętym kołem jednostkowym, i to ciągiem obszarów zstępujących (tzn. każdy następny zbiór tego ciągu zbiorów zawiera się w poprzednim i wraz ze wzrostem numeru \(\displaystyle{ n}\) średnica \(\displaystyle{ diam \left( F _{n} \right) }\) zbioru \(\displaystyle{ F _{n} }\) dąży do zera), to czy wtedy przekrój \(\displaystyle{ \bigcap_{n \in \NN} F _{n} }\) jest jednoelementowy?? A jeśli tak, to jak to udowodnić?
I podobnie, jeśli \(\displaystyle{ S _{n} \subset\RR ^{3}, }\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN,}\) jest ciągiem zbiorów, i ponadto zbiór \(\displaystyle{ S _{n} }\), dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, jest homeomorficznych z domkniętą kulą jednostkową, i ciąg \(\displaystyle{ \left( S _{n} \right) _{n \in \NN} }\) jest ciągiem zbiorów zstępujących (w podobny sposób jak dla zbiorów na płaszczyźnie powyżej), to czy przekrój \(\displaystyle{ \bigcap_{n \in \NN} S _{n} }\) jest jednoelementowy??
Zastanawiało mnie od niedawna czy jeśli na płaszczyźnie mamy taką relacje bliskości jego podzbiorów:
Łączymy każdy punkt pierwszego zbioru z każdym punktem drugiego zbioru, i patrzymy na odległości tych punktów od siebie; i jeśli infimum tych odległości jest równe zero, to mówimy, że wtedy te dwa zbiory są bliskie (okazuje się, że wtedy dwa zbiory mogą być bliskie nie tylko wtedy, gdy się przecinają, ale nawet wtedy, gdy są rozłączne, ale przecinają się na swoich brzegach, jak i jeszcze w innych sytuacjach). Zastanawiało mnie, czy dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2} }\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) (tzn. gdy jest daleki od jego dopełnienia do całej płaszczyzny), to czy to znaczy to samo, że jest istotnie zawarty w nim we właściwy sposób, tzn. jest istotnym podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) i ponadto brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne? Okazuje się, że zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę: Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem płaszczyzny mocno zawartym w drugim istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ B}\) płaszczyzny, to \(\displaystyle{ A}\) jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) i brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne.
Podobnie, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem przestrzeni trójwymiarowej mocno zawartym w drugim istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ \RR ^{3} }\) (mamy tutaj w \(\displaystyle{ \RR ^{3} }\) podobną bliskość z warunkiem z infimum), to \(\displaystyle{ A}\) jest istotnym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\) i brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr \left( B\right) }\) są rozłączne.
Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\Subset B\subsetneq\RR ^{2},}\) to z własności mocnej inkluzji mamy od razu: \(\displaystyle{ A \subset B.}\) I mamy \(\displaystyle{ A \neq B,}\) bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ A=B}\), to z założonej mocnej inkluzji mielibyśmy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby daleki od swojego dopełnienia. Ale \(\displaystyle{ \inf\limits_{x \in A,y \in A'} \left\{ d\left( x,y\right) \right\}=0}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ A'}\) -sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ A\subsetneq B.}\)
I brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne, bo gdyby one przecinały się, to ponieważ brzeg podzbioru płaszczyzny jest równy brzegu jego dopełnienia, to i brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B ^{'} \right) }\) by się przecinały. Ponieważ jednak domknięcie danego zbioru jest nadzbiorem brzegu tego zbioru (i przekrój dwóch zbiorów większych jest większy), to i domknięcia \(\displaystyle{ \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ \overline{B ^{'}} }\) by się przecinały, a zatem, jak udowodniłem na szóstej stronie pobliskiego wątku 'Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne', a zatem zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B'}\) byłyby bliskie, a zatem \(\displaystyle{ A\not\Subset B}\) -sprzeczność z założeniem. Wobec czego brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne i \(\displaystyle{ A\subsetneq B.\square}\)
W podobny sposób możemy udowodnić, że jeśli: \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\Subset B\subsetneq \RR ^{3},}\) to \(\displaystyle{ A\subsetneq B}\) i brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne.
Dla podzbiorów płaszczyzny wynikanie w drugą stronę niestety nie zachodzi. Aby podać kontrprzykład to:
Niech:
\(\displaystyle{ A:=\left\{ \left( x,y\right)\Bigl| \ \ x>0, y< -\frac{1}{x} \right\},}\) i:
\(\displaystyle{ B:=\left\{ \left( x,y\right)\Bigl| \ \ x>0, y<0 \right\}.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ A \subset B,}\) i \(\displaystyle{ A \neq B,}\) bo \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},- \frac{1}{2} \right) \in B \setminus A. }\) A zatem \(\displaystyle{ A \subsetneq B. }\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ Fr\left( A\right)=\left\{ \left( x,y\right)\Bigl| \ \ y=- \frac{1}{x}, x>0 \right\}, }\) i
\(\displaystyle{ Fr\left( B\right)= \left[ \left( \RR _{+} \cup \left\{ 0\right\}\right) \times \left\{ 0\right\} \right] \cup \left[ \left\{ 0\right\} \times \RR _{-} \right].}\)
Wtedy brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne, bo dla \(\displaystyle{ \left( x,0\right) \in Fr\left( B\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 0,}\) mamy: \(\displaystyle{ 0 \neq - \frac{1}{x}, }\) a zatem \(\displaystyle{ \left( x,0\right)\not \in Fr\left( A\right), }\) a zatem (bo oczywiście dla każdej pary postaci \(\displaystyle{ \left( 0,y\right) \in Fr\left( B\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ y<0}\), mamy wtedy \(\displaystyle{ \left( 0,y\right)\not\in Fr\left( A\right)}\), bo \(\displaystyle{ 0\not>0}\) ), a zatem brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right) }\) są rozłączne.
Jednak \(\displaystyle{ A\not\Subset B,}\) bo:
\(\displaystyle{ B'=\left\{ \left( x,y\right)\Bigl| \ y \ge 0 \right\} \cup \left\{ \left( x,y\right)\Bigl| \ x \le 0,y<0 \right\}, }\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ \inf\limits_{x \in A, y \in B'} \left\{ d\left( x,y\right) \right\}=0,}\)
a zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ B'}\), i \(\displaystyle{ A\not \Subset B.\square}\)
