Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X=A\cup B}\) będzie przestrzenią topologiczną, przy czym \(\displaystyle{ A\cap B=\{x\}}\). Zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są spójne, natomiast zbiór \(\displaystyle{ X\setminus\{x\}}\) jest niespójny. Pokazać, że dla dowolnego zbioru spójnego \(\displaystyle{ S\subset X}\) zbiór \(\displaystyle{ S\cap A}\) jest spójny.

Zadanie sformułowane przeze mnie na podstawie intuicji, więc być może potrzebne są dodatkowe założenia.

Kontrprzykład:

\(\displaystyle{ X = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \} \cup ( \{ 0 \} \times [1, 2] ) \\
A = \{ (x, y) \in X : x \ge 0 \} \\
B = \{ (x, y) \in X : x < 0 \} \cup \{ (0, 1) \} \\
S = B \cup \{ (0, -1) \}}\)

Może \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) powinny być domknięte?

Tak. Oryginalnie jest dużo więcej założeń. \(\displaystyle{ X}\) jest metryczna zwarta, \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) domknięte, \(\displaystyle{ S}\) także domknięty.

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ S \cap A}\) nie jest spójny. Istnieją wtedy otwarte \(\displaystyle{ U, V \subseteq X}\), takie że

(i) \(\displaystyle{ S \cap A \subseteq U \cup V}\),
(ii) \(\displaystyle{ S \cap A \cap U \cap V = \varnothing}\),
(iii) \(\displaystyle{ S \cap A \cap U \neq \varnothing}\) i \(\displaystyle{ S \cap A \cap V \neq \varnothing}\).

Z drugiego warunku mamy bez straty ogólności \(\displaystyle{ x \notin S \cap U}\). Niech \(\displaystyle{ U_1 = U \setminus B}\), \(\displaystyle{ V_1 = V \cup (X \setminus A)}\). Są to zbiory otwarte, które spełniają

(i') \(\displaystyle{ S \subseteq U_1 \cup V_1}\),
(ii') \(\displaystyle{ S \cap U_1 \cap V_1 = \varnothing}\),
(iii') \(\displaystyle{ S \cap U_1 \neq \varnothing}\) i \(\displaystyle{ S \cap V_1 \neq \varnothing}\),

co jest sprzeczne ze spójnością \(\displaystyle{ S}\).

PS Trochę prościej: weźmy oczywistą retrakcję \(\displaystyle{ r : X \to A}\). Jeśli \(\displaystyle{ S \cap A}\) jest pusty, to teza jest natychmiastowa. W przeciwnym razie wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ S \cap A = r[S]}\), bo obraz zbioru spójnego przez funkcję ciągłą jest spójny. Sprowadza się to do wykazania, że jeśli \(\displaystyle{ S \cap B \neq \varnothing}\), to \(\displaystyle{ x \in S}\). To zaś jest prawdą, gdyż w przeciwnym razie \(\displaystyle{ S \cap A}\) i \(\displaystyle{ S \cap B}\) tworzyłyby podział zbioru spójnego \(\displaystyle{ S}\) na dwa niepuste, domknięte podzbiory.