Matematyka.pl

Witam jak sprawdzić czy ta funkcja jest ciągła?

\(\displaystyle{ f(<x,y>)=<x+1,y>}\)

Nie rozumiem tego kompletnie

X-metryka rzeka
Y-kolejowa

w metryce węzła kolejowego jest prosto, bo wskażę zbiór, który jest otwarty, a jego przeciwobraz nie:
\(\displaystyle{ U=\{(x,y)\in(0,+\infty)^2\colon y=x\}}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(U)=\{(x,y)\in(-1,+\infty)\times(0,+\infty)\colon y=x+1\}}\)

czyli \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła (z warunku równoważnego ciągłości)

w metryce rzeki jest gorzej bo trzeba pokazać ciągłość.

\(\displaystyle{ d((x,y),(u,v))= \begin{cases} \sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}, y=v \\ |y|+|x-u|+|v|, w~przeciwnym~ wypadku\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ d((x+1,y),(u+1,v))= \begin{cases} \sqrt{(x+1-u-1)^2+(y-v)^2}, y=v \\ |y|+|x+1-u-1|+|v|, w~przeciwnym~wypadku\end{cases}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ (x,y),(u,v)}\) "w jednym pionie" \(\displaystyle{ \Rightarrow y=v \Rightarrow f((x,y))=(x+1,y)}\) oraz \(\displaystyle{ f((u,v))=(u+1,v)}\) są również w jednym pionie bo \(\displaystyle{ y=v}\)

Pytam się czy \(\displaystyle{ \exists L>0\colon d(f(x,y),f(u,v))\leq L\cdot d((x,y),(u,v))}\)
ale z poprzednich wyliczeń mamy równość
Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem lipschitzowskim ze stałą \(\displaystyle{ L=1}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) ciągłe
\(\displaystyle{ \square}\)