Matematyka.pl

karolex123 pisze: ↑8 kwie 2023, o 20:34 Czy podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla pokrycia przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dwoma otwartymi ściągalnymi podzbiorami?

https://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_manifold

https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain

Generalizations
The domain invariance theorem may be generalized to manifolds: if \(M\) and \(N\) are topological \(n\)-manifolds without boundary and \( f:M\rightarrow N\) is a continuous map which is locally one-to-one (meaning that every point in \(M\) has a neighborhood such that \(f\) restricted to this neighborhood is injective), then \(f\) is an open map (meaning that \( f(U) \) is open in \(N\) whenever \(U\) is an open subset of \(M\)) and a local homeomorphism.

karolex123 pisze: ↑11 kwie 2023, o 12:24 Tak! Taki kontrprzykład znajdziemy najwcześniej w w przestrzeni trójwymiarowej

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere

The horned sphere, together with its inside, is a topological 3-ball, the Alexander horned ball, and so is simply connected; i.e., every loop can be shrunk to a point while staying inside. The exterior is not simply connected, unlike the exterior of the usual round sphere; a loop linking a torus in the above construction cannot be shrunk to a point without touching the horned sphere. This shows that the Jordan–Schönflies theorem does not hold in three dimensions, as Alexander had originally thought. Alexander also proved that the theorem does hold in three dimensions for piecewise linear/smooth embeddings. This is one of the earliest examples where the need for distinction between the categories of topological manifolds, differentiable manifolds, and piecewise linear manifolds became apparent.

szuler pisze: ↑9 kwie 2023, o 23:02 rozmaitość Whiteheada \(W\) zanurza się w \(\mathbb{R}^{3}\)

szuler pisze: ↑9 kwie 2023, o 23:02 rozmaitość Whiteheada \(W\) zanurza się w \(\mathbb{R}^{3}\)

Dostałem bardzo fajną podpowiedź (nie powiem, gdzie :^) ) i chyba już rozumiem. Mianowicie \(W\) jest właściwym podzbiorem \(S^{3}\). Istnieje więc \(p\in S^{3}\) taki, że \(p\notin W\). Wtedy \(W \subseteq S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \). Funkcja \(f:W\rightarrow S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \), \(f(x)=x\) jest zanurzeniem \(W\) w \(S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace\). Faktem jest również to, że \(S^{n}\) bez jednego punktu jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^{n}\). Niech \(g:S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) będzie homeomorfizmem. Wtedy \(g\upharpoonright_{f[ W ]} \circ f\) jest zanurzeniem \(W\) w \(\mathbb{R}^{3}\). Jeśli coś tutaj jest nie tak, to prosiłbym o wskazanie błędu.