ośrodek przestrzeni metrycznej

Miraculum · Post autor: **Miraculum** » 13 lis 2006, o 15:36

Wykazać ze zbiór wszystkich funkcji wielomianowych \(\displaystyle{ p: [0,1] -> R}\) mających współczynniki wymierne jest ośrodkiem przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (C([0,1],R),d_{\infty})}\) Z definicji ośrodkowej wiem z emusze znalesc taki conajwyżej przeliczalny zbiór zawarty w tej przestrzeni ze jego domkniecie jest całą ta przestrzenia. Ale nie wiem jak wykazać ze włąsnie tym zbiorem jest wyzej zdefiniowane \(\displaystyle{ p}\). Do zadania miałam jeszcze wskazowke ze nalezy skorzystać z twierdzenia Weierstraa o aproksymacji. Ale nie wiem jak to złożyc wsyztko w całosc.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 14 lis 2006, o 09:14

Miraculum pisze:Z definicji ośrodkowej wiem z emusze znalesc taki conajwyżej przeliczalny zbiór zawarty w tej przestrzeni

No to patrzymy... czy wielomiany o współczynnikach wymiernych są funkcjami ciągłymi na odcinku [0,1]?

I ile ich jest? Pewnie tyle, ile współczynników wymiernych (uwaga: każdy wielomian ma skończoną liczbę współczynników), tzn. jest ich przeliczalnie wiele.

Pozostaje już tylko do pokazania, że...

Miraculum pisze:...jego domkniecie jest całą ta przestrzenia.

... co jest równoznaczne z tym, że w dowolnym otoczeniu dowolnej funckji z C jest wielomian o współczynnikach wymiernych, i tu...

Miraculum pisze:nalezy skorzystać z twierdzenia Weierstraa o aproksymacji.

No to i poskładane w całość...

Miraculum · Post autor: **Miraculum** » 14 lis 2006, o 10:41

DZiekuje za odpowiedzxi teraz musze jakos co złozyc w dowód

[ Dodano: 14 Listopad 2006, 15:12 ]
mam jeszcze pytanie odnosnie tego twierdzenia , otóz dochodze do tego ze funkcje wielomianowe ciagłe na przedziale [0,1] sa na nim ograniczone. Ale teraz musze udowodnic ze skoro w dowolnym otoczeniu dowolnej funckji z C jest wielomian o współczynnikach wymiernych to funkcje mozna przyblizyc jednostajnie z dowolna dokładnoscia do tego wielomianu
tak?? dobrze mysle ??