Matematyka.pl

Czy:
a) ośrodkowość
b) zwartość
c) spójność
jest niezmiennikiem przekształceń ciagłych. Uzasadnić.

Z góry dziekuje za pomoc

a) tak - jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest co najwyżej przeliczalny, gęsty w \(\displaystyle{ X,}\) oraz \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) - ciągła suriekcja między przestrzeniami topologicznymi \(\displaystyle{ X,Y,}\) to:
\(\displaystyle{ f(A)}\) jest co najwyżej przeliczalny, a z ciągłości \(\displaystyle{ \overline{f(A)}\supset f(\overline{A}) = f(X) = Y,}\) czyli \(\displaystyle{ f(A)}\) jest co najwyżej przeliczalny, gęsty w \(\displaystyle{ Y.}\)

b) tak - obraz zbioru zwartego przez odwzorowanie ciągłe jest zwarty (tw. Weierstrassa)
c) tak - obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest spójny.
Gdyby tak nie było, tzn mielibyśmy dla pewnych \(\displaystyle{ X,Y}\) przestrzeni topologicznych ciągłą suriekcję \(\displaystyle{ f:X \to Y,}\) przy czym \(\displaystyle{ X}\) -spójna, \(\displaystyle{ Y}\) - niespójna, to:
w \(\displaystyle{ Y}\) istniałby niepusty zbiór otwarto-domknięty \(\displaystyle{ B\neq Y,}\) ale z ciągłości \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) byłby otwarto-domknięty w \(\displaystyle{ X,}\) a ponadto niepusty i różny od \(\displaystyle{ X}\) - sprzeczność ze spójnością \(\displaystyle{ X.}\)

Temat odkopany.

Znacie jeszcze jakieś inne poza tymi trzema (ośrodkowość, zwartość, spójność) niezmienniki przekształceń ciągłych?
Nawet bez dowodu bądź tylko z jego zarysem lub uzasadnieniem.