Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ d_1, d_2}\) nie są równoważne w przestrzeni \(\displaystyle{ C^1[0,1]}\)
\(\displaystyle{ d_1(u,v)=\sup_{t\in [0,1]}|u(t)-v(t)|}\)
\(\displaystyle{ d_2(u,v)=\sup_{t\in [0,1]}|u(t)-v(t)|+\sup_{t\in [0,1]}|u'(t)-v'(t)|}\).
Nie wiem jaki kontrprzykład tu podać.

\(\displaystyle{ d_1\le d_2}\), więc jeśli coś zmierza do zera w \(\displaystyle{ d_2}\), to także w \(\displaystyle{ d_1}\). A więc należałoby poszukać ciągu funkcji zmierzających do zera w \(\displaystyle{ d_1}\), ale nie w \(\displaystyle{ d_2}\).

Spróbuj ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{n}\sin nx}\).