Metryczność i metryzowalność

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Metryczność i metryzowalność

Post autor: Tomasz22 »

Czy ktoś umie odpowiedzieć na poniższe pytania oraz je uargumentować??? Ewentualnie poprawić, bo np. definicji przestrzeni Niemytzkiego nie jestem pewien.

1. Czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne?
2. Czy prawdą jest, że dowolny zbiór można zmetryzować metryką dyskretną?
3. Czy prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały obustronnie otwarte jest zbiorem nieprzeliczalnie nieskończonym (z metryką euklidesową) i w związku z tym nie spełnia warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), ponieważ pomiędzy jednym a drugim punktem zawsze istnieje nieskończenie wiele innych punktów (od razu tu mam pytanie, czy po matematycznemu to oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest gęsty, bo nie wiem czy dobrze pamiętam) oraz dalej idąc nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie jest przestrzenią metryczną?
4. Czy punkt 3, ale dla półprostej rzeczywistej też jest spełniony (ale tutaj ze względu na to, że ma tylko początek a nie ma końca, bo się rozciąga w nieskończoność)?
5. Czy nieprzeliczalnie nieskończone zbiory X z metryką euklidesową nie spełniają warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), bo zawsze istnieje nieskończenie wiele punktów między dowolnymi dwoma różnymi punktami? Czy w związku z tym nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie są przestrzeniami metrycznymi?
6. Czy aby istniała metryka, która generuje topologię, wystarczy wziąć metrykę dyskretną? Jeśli nie, to najlepiej byłoby podać kontrprzykład bądź kontrprzykłady a jeśli tak, to jakoś solidnie tego dowieść, najlepiej językiem matematycznym, ale niekoniecznie.
7. Jaka jest różnica między potocznymi wyrażeniami "metryczność" i "metryzowalność"?
8. Czy każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna? Czy każda przestrzeń topologiczna jest metryzowalna? Gdzieś wyczytałem, że nie i przykładem może być przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną. Czy to prawda?
9. Czy podane stwierdzenia są prawdziwe?
a) Rozważmy przestrzeń Sierpińskiego, gdzie \(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \{0\}}\) domknięty a \(\displaystyle{ \{1\}}\) otwarty. Wybierzmy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=1}\) jako punkty w przestrzeni. Niezależnie od tego jaki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) zawierający \(\displaystyle{ 0}\) wybierzemy, zawsze będzie zawierał również \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ {1}}\) jest otwarty. Oznacza to, że nie możemy znaleźć takiego zbioru otwartego, który zawierałby tylko \(\displaystyle{ 0}\), ale nie zawierałby \(\displaystyle{ 1}\). Zatem nie jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_{1}}\) i dalej nie jest przestrzenią metryczną.
b) Przestrzeń Niemytzkiego (jeśli przekręciłem nazwisko, to z góry przepraszam) na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), w odniesieniu do zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: Re(z) > a\}}\), \(\displaystyle{ a}\) - pewna liczba rzeczywista, definiuje się poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ z=x+yi \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}}\) i dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\), definiuje się zbiór \(\displaystyle{ V(z)=\{w \in \mathbb{C}: Re(w) > Re(z)\}}\) jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ z}\). Zatem z metryką euklidesową nie jest to przestrzeń metryczna. Jednakże z metryką "moduł" na części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\), czyli dla punktów \(\displaystyle{ z_{1}=x_{1}+y_{1}i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=x_{2}+y_{2}i}\), gdzie \(\displaystyle{ d(z_{1}, z_{2})=\left| x_{1} - x_{2} \right|}\) już tak.
c) \(\displaystyle{ X}\) - zbiór nieskończony, topologia \(\displaystyle{ X}\) to wszystkie zbiory niezawierające punktu \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) oraz \(\displaystyle{ X \setminus F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) - skończony podzbiór \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) z metryką euklidesową jest przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny.

Prosiłbym o jak najszybszą odpowiedź :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:451. Czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne?
To pytanie nie ma sensu, bo własność \(\displaystyle{ T_1}\) jest własnością przestrzeni topologicznych, a nie metrycznych. Natomiast nie wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_1}\) są metryzowalne.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:452. Czy prawdą jest, że dowolny zbiór można zmetryzować metryką dyskretną?
Tak.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:453. Czy prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały obustronnie otwarte jest zbiorem nieprzeliczalnie nieskończonym (z metryką euklidesową) i w związku z tym nie spełnia warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), ponieważ pomiędzy jednym a drugim punktem zawsze istnieje nieskończenie wiele innych punktów (od razu tu mam pytanie, czy po matematycznemu to oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest gęsty, bo nie wiem czy dobrze pamiętam) oraz dalej idąc nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie jest przestrzenią metryczną?
To jest jakieś pomieszanie z poplątaniem.

Prosta rzeczywista ze standardową topologią jest przestrzenią normalną, więc tym bardziej jest \(\displaystyle{ T_1}\). Jest też metryzowalna standardową metryką euklidesową.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:454. Czy punkt 3, ale dla półprostej rzeczywistej też jest spełniony (ale tutaj ze względu na to, że ma tylko początek a nie ma końca, bo się rozciąga w nieskończoność)?
Półprosta też jest przestrzenią normalną i też jest metryzowalna metryką euklidesową.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:455. Czy nieprzeliczalnie nieskończone zbiory X z metryką euklidesową nie spełniają warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), bo zawsze istnieje nieskończenie wiele punktów między dowolnymi dwoma różnymi punktami? Czy w związku z tym nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie są przestrzeniami metrycznymi?
To pytanie nie ma sensu, bo metryka euklidesowa dotyczy tylko przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) (i ich podzbiorów). Jeżeli zaś pytanie dotyczy nieprzeliczalnych podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^n}\), to każdy taki zbiór jest metryzowalny metryką euklidesową, więc jest normalny, czyli tym bardziej \(\displaystyle{ T_1.}\)
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:456. Czy aby istniała metryka, która generuje topologię, wystarczy wziąć metrykę dyskretną? Jeśli nie, to najlepiej byłoby podać kontrprzykład bądź kontrprzykłady a jeśli tak, to jakoś solidnie tego dowieść, najlepiej językiem matematycznym, ale niekoniecznie.
KAŻDA metryka generuje topologię.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:457. Jaka jest różnica między potocznymi wyrażeniami "metryczność" i "metryzowalność"?
Co to znaczy "potocznymi"? A różnicę wytłumaczył Ci Dasio11: topologia-f58/przestrzen-topologiczna-c ... 54984.html
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:458. Czy każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna?
Formalnie to pytanie nie ma sensu, bo metryzowalność jest własnością przestrzeni topologicznych, a nie metrycznych. Jeżeli rozumiemy je szerzej, naturalnie uznając, że każda przestrzeń metryczna jest topologiczna z topologią w standardowy sposób generowaną przez metrykę, to pytanie o metryzowalność jest tautologiczne (bo brzmi: "Czy istnieje metryka, która generuje topologią, która jest tą samą topologią, co topologia generowana przez wyjściową metrykę?" - oczywiście istnieje i jest nią wyjściowa metryka...).
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45Czy każda przestrzeń topologiczna jest metryzowalna? Gdzieś wyczytałem, że nie i przykładem może być przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną. Czy to prawda?
Istotnie nie każda, natomiast zupełnie nie rozumiem, co to jest "przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną".

JK
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Tomasz22 »

Okej, po kolei.
Co do odpowiedzi do pytania nr 1 - własność ta dotyczy przestrzeni topologicznych, ale przecież każda przestrzeń metryczna jest topologiczna, więc moim zdaniem poniekąd dotyczy też metrycznych.
Co odpowiedzi do pytania nr 3 - nie zgodzę się, ponieważ prosta rzeczywista składa się z nieskończenie wielu punktów, więc nie możemy wybrać otoczenia, które zawiera jeden punkt i nie zawiera drugiego a o tym właśnie mówi własność \(\displaystyle{ T_{1}}\). Przynajmniej według "Topologii ogólnej" Ryszarda Engelkinga. Podobnie półprosta. Analogicznie przedstawiłem to w pytaniu 5. Zbiory obustronnie otwarte są nam potrzebne w sumie tylko po to, aby była to przestrzeń topologiczna. Poza tym pytam się o to, czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne, ponieważ ktoś (nie pamiętam już kto) w odpowiedzi na jeden z moich postów napisał właśnie stwierdzenie "Wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne", ale bez żadnego dowodu, więc dlatego pytam się też o argumentację. Rozumieć - skoro wszystkie takie przestrzenie są metryczne, to jeśli przestrzeń nie spełnia tego warunku, to nie może być metryczna. A że metryka euklidesowa jest najprostszą z możliwych, to badam akurat ją.
Odpowiedź do pytania 7 - nie pytaj się mnie, ponieważ to jeden z innych użytkowników forum napisał, że bardzo możliwe, że mylę "metryczność" oraz "metryzowalność" i to w znaczeniu potocznym bardziej niż formalnym, więc stąd też pytanie o tę różnicę.
Co do ostatniej odpowiedzi - nie musisz tego rozumieć, możesz po prostu podać jeden bądź kilka kontrprzykładów.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57Co do odpowiedzi do pytania nr 1 - własność ta dotyczy przestrzeni topologicznych, ale przecież każda przestrzeń metryczna jest topologiczna, więc moim zdaniem poniekąd dotyczy też metrycznych.
Gdybyś zapytał, czy każda przestrzeń metryczna jest \(\displaystyle{ T_1}\), to miałoby to sens. Ale Ty zadałeś inne pytanie i ono nie ma sensu.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57Co odpowiedzi do pytania nr 3 - nie zgodzę się, ponieważ prosta rzeczywista składa się z nieskończenie wielu punktów, więc nie możemy wybrać otoczenia, które zawiera jeden punkt i nie zawiera drugiego a o tym właśnie mówi własność \(\displaystyle{ T_{1}}\). Przynajmniej według "Topologii ogólnej" Ryszarda Engelkinga. Podobnie półprosta. Analogicznie przedstawiłem to w pytaniu 5.
Niestety zupełnie nie rozumiesz, o czym piszesz.

Dla dowolnych różnych punktów \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\) oczywiście da się wskazać otoczenie, do którego należy jeden z tych punktów, a nie należy drugi. Można nawet od razu wskazać dwa takie otoczenia otwarte dla obu punktów (i pokazać tym samym, że prosta jest \(\displaystyle{ T_2}\)) - są to przedziały \(\displaystyle{ \left( x-\frac{|x-y|}{2},x+\frac{|x-y|}{2}\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left(y-\frac{|x-y|}{2},y+\frac{|x-y|}{2}\right).}\)
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57Poza tym pytam się o to, czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne, ponieważ ktoś (nie pamiętam już kto) w odpowiedzi na jeden z moich postów napisał właśnie stwierdzenie "Wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne, ale bez żadnego dowodu, więc dlatego pytam się też o argumentację.
Znajdź lepiej ten post - jestem przekonany, że ten ktoś napisał, że wszystkie przestrzenie metryczne są \(\displaystyle{ T_{1}}\). A Ty najwyraźniej mylisz wynikanie

\(\displaystyle{ X \text{ jest przestrzenią metryczną } \Rightarrow X \text{ jest przestrzenią }T_1}\)

z wynikaniem

\(\displaystyle{ X \text{ jest przestrzenią }T_1 \Rightarrow X \text{ jest przestrzenią metryczną }.}\)
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57Rozumieć - skoro wszystkie takie przestrzenie są metryczne, to jeśli przestrzeń nie spełnia tego warunku, to nie może być metryczna.
Sprawdź jeszcze raz na czym polega prawo kontrapozycji.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57 Odpowiedź do pytania 7 - nie pytaj się mnie, ponieważ to jeden z innych użytkowników forum napisał, że bardzo możliwe, że mylę "metryczność" oraz "metryzowalność" i to w znaczeniu potocznym bardziej niż formalnym, więc stąd też pytanie o tę różnicę.
W zalinkowanym wątku różnica jest wyjaśniona. Zamiast powtarzać w kółko to samo pytanie przeczytaj uważnie to wyjaśnienie (i najwyżej wtedy zapytaj, czego w nim nie rozumiesz).
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 22:57Co do ostatniej odpowiedzi - nie musisz tego rozumieć, możesz po prostu podać jeden bądź kilka kontrprzykładów.
Bardzo podoba mi się ten tok myślenia: "nie musisz tego rozumieć, możesz po prostu podać jeden bądź kilka kontrprzykładów" :evil:

Jeśli chodzi o przestrzenie topologiczne niemetryzowalne, to spróbowałeś chociaż zapytać wujka Googla? Od razu trafiłbyś na Wiki:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_metryzowalna#Przyk%C5%82ady_przestrzeni_niemetryzowalnych
Jeśli chodzi o "przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną", to jest (no offence) bełkot, co starałem się poprzednio delikatniej napisać.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Tomasz22 »

Okej, zwracam honor. Rzeczywiście pytanie powinno brzmieć "Czy każda przestrzeń metryczna jest \(\displaystyle{ T_{1}}\) i dlaczego?". Tak, próbowałem pytać wujka Google, ale są tam same skomplikowane przykłady a mi zależy na tych prostszych. Przy okazji pytam się o nie, ponieważ po twierdzeniu "Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna" chciałem podać przykłady przestrzeni topologicznych, które nie są metryczne, bo już totalnie zgłupiałem przez tłumaczenia swojego prowadzącego seminarium i innych osób. No, ale cóż... Ile ludzi, tyle opinii a nawet jeśli ta sama, to tyle cała masa pokrętnych wyjaśnień. Poza tym sam podałeś tę prostą jako przykład przestrzeni topologicznej, która nie jest metryczna, więc tym bardziej się dziwię, że nie rozumiesz, że ja nie rozumiem Twojego toku rozumowania, przykładu który z niego wynika i tym samym podobnych do niego chociaż myślałem, że je rozumiem... Czy chociaż moje rozumowanie w pytaniu 9 jest poprawne? Prosiłbym przy okazji o argumentację.

PS. Formalne definicje przestrzeni metrycznej i przestrzeni metryzowalnej znam, dlatego też pytam się o różnice w znaczeniu potocznym. A z tego co zauważyłem, to w tamtym wątku są tylko w formalnym. Chyba, że chodzi Ci o ostatni post w tamtym wątku, to wtedy przepraszam bardzo, ale praktycznie nic z niego nie rozumiem.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 31 maja 2023, o 01:31No, ale cóż... Ile ludzi, tyle opinii a nawet jeśli ta sama, to tyle cała masa pokrętnych wyjaśnień.
Matematyka to nie są opinie, a to, że nie rozumiesz wyjaśnienia nie oznacza jeszcze, że jest ono "pokrętne".
Tomasz22 pisze: 31 maja 2023, o 01:31Poza tym sam podałeś tę prostą jako przykład przestrzeni topologicznej, która nie jest metryczna,
To był przykład, który miał Ci coś uświadomić. Nie udało się - trudno.
Tomasz22 pisze: 31 maja 2023, o 01:31więc tym bardziej się dziwię, że nie rozumiesz, że ja nie rozumiem Twojego toku rozumowania, przykładu który z niego wynika i tym samym podobnych do niego chociaż myślałem, że je rozumiem...
Coś się zapętliłeś.
Tomasz22 pisze: 31 maja 2023, o 01:31A z tego co zauważyłem, to w tamtym wątku są tylko w formalnym. Chyba, że chodzi Ci o ostatni post w tamtym wątku, to wtedy przepraszam bardzo, ale praktycznie nic z niego nie rozumiem.
Tak, chodzi o ostatni post, w którym wszystko jest dokładnie wyjaśnione. Ja Ci nic lepszego nie napiszę, tym bardziej, że nie rozumiem Twoich rozróżnień pomiędzy różnicą "potoczną" a "formalną".
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45 a) Rozważmy przestrzeń Sierpińskiego, gdzie \(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \{0\}}\) domknięty a \(\displaystyle{ \{1\}}\) otwarty. Wybierzmy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=1}\) jako punkty w przestrzeni. Niezależnie od tego jaki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) zawierający \(\displaystyle{ 0}\) wybierzemy, zawsze będzie zawierał również \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ {1}}\) jest otwarty. Oznacza to, że nie możemy znaleźć takiego zbioru otwartego, który zawierałby tylko \(\displaystyle{ 0}\), ale nie zawierałby \(\displaystyle{ 1}\). Zatem nie jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_{1}}\) i dalej nie jest przestrzenią metryczną.
Napisane jest to średnio, ale tak, jest to prawdą, tyle że dalej nie jest przestrzenią metryzowalną.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45b) Przestrzeń Niemytzkiego (jeśli przekręciłem nazwisko, to z góry przepraszam) na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), w odniesieniu do zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: Re(z) > a\}}\), \(\displaystyle{ a}\) - pewna liczba rzeczywista, definiuje się poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ z=x+yi \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}}\) i dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\), definiuje się zbiór \(\displaystyle{ V(z)=\{w \in \mathbb{C}: Re(w) > Re(z)\}}\) jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ z}\).
Jest coś takiego jak płaszczyzna Niemyckiego (to Rosjanin był: Виктор Владимирович Немыцкий) - tu jest definicja:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/P%C5%82aszczyzna_Niemyckiego
Czy Tobie chodzi o tę przestrzeń to trudno wyczuć, bo definicja coś Ci nie wyszła - jest niezrozumiała.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45Zatem z metryką euklidesową nie jest to przestrzeń metryczna. Jednakże z metryką "moduł" na części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\), czyli dla punktów \(\displaystyle{ z_{1}=x_{1}+y_{1}i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=x_{2}+y_{2}i}\), gdzie \(\displaystyle{ d(z_{1}, z_{2})=\left| x_{1} - x_{2} \right|}\) już tak.
A tu w ogóle nie rozumiem, o co Ci chodzi.
Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45c) \(\displaystyle{ X}\) - zbiór nieskończony, topologia \(\displaystyle{ X}\) to wszystkie zbiory niezawierające punktu \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) oraz \(\displaystyle{ X \setminus F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) - skończony podzbiór \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) z metryką euklidesową jest przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny.
To sformułowanie nie ma sensu.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Tomasz22 »

Po pierwsze - chyba nareszcie znalazłem jakiś solidny wykład w Internecie, który tłumaczy, że ludzie mówiąc "Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna" zrobili z tego twierdzenia dość niechlujne stwierdzenie, bo powinno ono brzmieć "Każda metryka generuje topologię". I wówczas rzeczywiście jasnym staje się, że twierdzenie odwrotne jest fałszywe a ponadto bardzo ładnie wprowadza prostszą wersję definicji metryzowalności, ponieważ "Nie każda topologia generuje metrykę. Przypadki, w których topologia może być generowana przez metrykę, nazywamy metryzowalnymi. Zatem jeśli nie jest to możliwe, to nazywamy niemetryzowalnymi co potwierdza, że nie każda przestrzeń topologiczna jest metryczna, ładniej mówiąc nie każda topologia generuje metrykę". A skoro ponadto wszystkie przestrzenie metryczne (a w związku z tym i metryzowalne, bo o ile dobrze mi wiadomo każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna) są \(\displaystyle{ T_1}\) , to jeśli ta właśność nie jest spełniona, to nie może być dana przestrzeń topologiczna metryczna, ładniej mówiąc nie istnieje topologia, która jest generowana przez metrykę.

Po drugie - już tłumaczę o co mi chodziło z płaszczyzną Niemyckiego i proszę o weryfikację czy dobrze myślę, że jest niemetryzowalna mimo, że w ciele liczb rzeczywistych jak wynika z Wikipedii (w końcu jest tam zastosowane "d") tak. Mamy zbiór jakiś "z" należących do zbioru liczb zespolonych, których część rzeczywista jest większa od pewnej liczby rzeczywistej "a". Przestrzeń tę definiujemy poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej. Dla każdego punktu "z=x+yi", gdzie "x" i "y" są rzeczywiste (klasyczna definicja liczby zespolonej) i dla pewnej ustalonej liczby rzeczywistej "a" definiuje się zbiór "V(z)" składający się z pewnych liczb zespolonych "w" takich, że część rzeczywista liczby "w" jest większa od części rzeczywistej liczby "z". Jest to nasze otoczenie punktu "z". Dalej po prostu badałem tę płaszczyznę (chyba można ją też nazwać przestrzenią) odpowiednio z metryką euklidesową oraz metryką "moduł" i mój umysł po prostu wpadł na pomysł, że z metryką euklidesową topologia dana przez tę przestrzeń nie generuje metryki, natomiast z metryką "moduł" już tak. Nie rozumiem natomiast dlaczego miałoby być prawdą, że ta topologia generuje metrykę czy też jej nie generuje, w zależności od poprawnej odpowiedzi.

PS. Okej, mój błąd. Wszystkie przestrzenie metryzowalne\(\displaystyle{ T_{1}}\). Ale jeśli okaże się, że mam rację i każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna a metryzowalna metryczna, to metryczne także.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:14co potwierdza, że nie każda przestrzeń topologiczna jest metryczna, ładniej mówiąc nie każda topologia generuje metrykę".
Topologia nie może generować metryki, tylko może być generowana przez metrykę (ach ta strona bierna).
Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:14bo o ile dobrze mi wiadomo każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna
Każda przestrzeń metryczna generuje topologię, która jest metryzowalna - już pisałem, że to jest stwierdzenie tautologiczne.
Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:14\(\displaystyle{ T_1}\) , to jeśli ta właśność nie jest spełniona, to nie może być dana przestrzeń topologiczna metryczna, ładniej mówiąc nie istnieje topologia, która jest generowana przez metrykę.
Nie istnieje metryka, która generuje topologię, która nie jest \(\displaystyle{ T_1.}\)
Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:14Wszystkie przestrzenie metryzowalne\(\displaystyle{ T_{1}}\). Ale jeśli okaże się, że mam rację i każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna a metryzowalna metryczna, to metryczne także.
Metryczność i metryzowalność to blisko związane pojęcia, ale z różnych bajek.

Każda przestrzeń metryczna generuje topologię, która jest metryzowalna i na każdej przestrzeni topologicznej metryzowalnej można zadać metrykę, która wygeneruje jej topologię.

JK
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: matmatmm »

Tomasz22 pisze: 30 maja 2023, o 20:45 9. Czy podane stwierdzenia są prawdziwe?

b) Przestrzeń Niemytzkiego (jeśli przekręciłem nazwisko, to z góry przepraszam) na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), w odniesieniu do zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: Re(z) > a\}}\), \(\displaystyle{ a}\) - pewna liczba rzeczywista, definiuje się poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ z=x+yi \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}}\) i dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\), definiuje się zbiór \(\displaystyle{ V(z)=\{w \in \mathbb{C}: Re(w) > Re(z)\}}\) jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ z}\).
O ile mi wiadomo, to płaszczyznę Niemyckiego definiuje się inaczej, co potwierdza Wikipedia. Zaryzykowałbym więc, że jest to stwierdzenie nieprawdziwe. Druga sprawa, że przy tej definicji zachodzi \(\displaystyle{ z\notin V(z)}\), czyli punkt nie należy do swojego otoczenia. W tej sytuacji potrzebne jest doprecyzowanie jak wprowadzamy topologię za pomocą takich "otoczeń".
Tomasz22 pisze: 1 cze 2023, o 11:14 Po drugie - już tłumaczę o co mi chodziło z płaszczyzną Niemyckiego i proszę o weryfikację czy dobrze myślę, że jest niemetryzowalna mimo, że w ciele liczb rzeczywistych jak wynika z Wikipedii (w końcu jest tam zastosowane "d") tak. Mamy zbiór jakiś "z" należących do zbioru liczb zespolonych, których część rzeczywista jest większa od pewnej liczby rzeczywistej "a". Przestrzeń tę definiujemy poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej. Dla każdego punktu "z=x+yi", gdzie "x" i "y" są rzeczywiste (klasyczna definicja liczby zespolonej) i dla pewnej ustalonej liczby rzeczywistej "a" definiuje się zbiór "V(z)" składający się z pewnych liczb zespolonych "w" takich, że część rzeczywista liczby "w" jest większa od części rzeczywistej liczby "z". Jest to nasze otoczenie punktu "z". Dalej po prostu badałem tę płaszczyznę (chyba można ją też nazwać przestrzenią) odpowiednio z metryką euklidesową oraz metryką "moduł" i mój umysł po prostu wpadł na pomysł, że z metryką euklidesową topologia dana przez tę przestrzeń nie generuje metryki, natomiast z metryką "moduł" już tak. Nie rozumiem natomiast dlaczego miałoby być prawdą, że ta topologia generuje metrykę czy też jej nie generuje, w zależności od poprawnej odpowiedzi.
To się w ogóle nie trzyma kupy. Na Wikipedii opisana jest inna konstrukcja przestrzeni niż Twoja. Ustalmy może, czy mówimy o płaszczyźnie Niemyckiego, czy o przestrzeni z Twojego zadania.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Tomasz22 »

Już nieważne, niepotrzebnie skomplikowałem sprawę. Co do 9c - stwierdziłem, że jest to zdanie prawdziwe i chyba nawet wymyśliłem dlaczego. Gdyby ten zbiór nie był przeliczalny, to z definicji nie byłby równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych czyli kolokwialnie mówiąc nie można uporządkować go za pomocą liczb naturalnych a bardziej matematycznie nie istnieje bijekcja (czyli funkcja różnowartościowa i "na") z tego zbioru na zbiór liczb naturalnych czyli tym bardziej nie istnieje metryka, która przecież przyjmuje wartości od zera do nieskończoności wraz z zerem, a więc tym bardziej metryka zgodna z topologią.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metryczność i metryzowalność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 3 cze 2023, o 17:54 Już nieważne, niepotrzebnie skomplikowałem sprawę. Co do 9c - stwierdziłem, że jest to zdanie prawdziwe i chyba nawet wymyśliłem dlaczego. Gdyby ten zbiór nie był przeliczalny, to z definicji nie byłby równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych czyli kolokwialnie mówiąc nie można uporządkować go za pomocą liczb naturalnych a bardziej matematycznie nie istnieje bijekcja (czyli funkcja różnowartościowa i "na") z tego zbioru na zbiór liczb naturalnych czyli tym bardziej nie istnieje metryka, która przecież przyjmuje wartości od zera do nieskończoności wraz z zerem, a więc tym bardziej metryka zgodna z topologią.
Ten argument nie ma sensu - nieistnienie bijekcji nie ma żadnego związku z nieistnieniem metryki. W ten sposób "udowodniłbyś", że nie istnieją nieprzeliczalne przestrzenie metryczne...

JK
ODPOWIEDZ