Matematyka.pl

Staram się udowodnić takie z pozoru trywialne twierdzenie:

Tw. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie okręgiem na płaszczyźnie oraz \(\displaystyle{ a,b\in S}\) będą różnymi punktami. Wówczas \(\displaystyle{ L}\) jest łukiem o końcach \(\displaystyle{ a,b}\) zawartym w \(\displaystyle{ S}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ L}\) jest przekrojem \(\displaystyle{ S}\) oraz półpłaszczyzny o brzegu, który jest prostą wyznaczoną przez punkty \(\displaystyle{ a,b}\).

Przy tym łuk to dla mnie z definicji homeomorficzny obraz odcinka np. \(\displaystyle{ [0,1]}\), a co do dowodu to interesuje mnie w zasadzie tylko implikacja z lewej na prawą (ta druga to prosta kwestia zdefiniowania homeomorfizmu). Potrzebuję takich własności:

1. Dowolne dwa punkty łuku \(\displaystyle{ L}\) o końcach \(\displaystyle{ a,b}\) zawartego w \(\displaystyle{ S}\) leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez \(\displaystyle{ a,b}\).

• Jeśli dwa punkty okręgu \(\displaystyle{ S}\) leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez \(\displaystyle{ a,b}\), z czego jeden leży na łuku \(\displaystyle{ L}\), to drugi także.

Inny pomysł mógłby polegać na stwierdzeniu, mając dany łuk \(\displaystyle{ L}\) o końcach \(\displaystyle{ a,b}\) zawarty w \(\displaystyle{ S}\), \(\displaystyle{ L\setminus\{a,b\}}\) musi być składową spójności zbioru \(\displaystyle{ S\setminus\{a.b\}}\), gdyż dość łatwo jest pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ S\setminus\{a,b\}}\) ma dwie składowe spójności i są one przekrojami z odpowiednimi półpłaszczyznami (otwartymi).

Niech \(\displaystyle{ \varphi : \RR^2 \to \RR}\) będzie niezerowym funkcjonałem liniowym, takim że \(\displaystyle{ \varphi(a) = \varphi(b) =: v}\). Łatwo wykazać wszystkie potrzebne związki między tym funkcjonałem a prostą i półpłaszczyznami wspomnianymi w tezie. Niech \(\displaystyle{ i : [0, 1] \to L}\) będzie homeomorfizmem.

1. Gdyby istniały dwa punkty łuku po różnych stronach prostej, tj. \(\displaystyle{ \varphi(i(s)) < v}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(i(t)) > v}\) dla pewnych \(\displaystyle{ s, t \in (0, 1)}\), to z twierdzenia Darboux istniałby \(\displaystyle{ r \in [s, t] \cup [t, s]}\) spełniający \(\displaystyle{ \varphi(i(r)) = v}\). To jednak niemożliwe, bo jedynymi punktami \(\displaystyle{ x \in L}\), takimi że \(\displaystyle{ \varphi(x) = v}\), są \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

2. Załóżmy nie wprost, że np. \(\displaystyle{ \varphi(c), \varphi(d) > 0}\), gdzie \(\displaystyle{ c \in L}\) i \(\displaystyle{ d \in S \setminus L}\). Nietrudno wykazać, że punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) należą do różnych składowych spójności zbioru \(\displaystyle{ \{ x \in S : \varphi(x) \ge 0 \} \setminus \{ \varphi(d) \}}\), co jest sprzeczne z faktem, że \(\displaystyle{ L}\) jest łukiem zawartym w tym zbiorze łączącym \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ b}\).

Wszystko jasne. Czuję się zobowiązany poprawić drobne usterki.

Dasio11 pisze: ↑17 lip 2022, o 19:45 2. Załóżmy nie wprost, że np. \(\displaystyle{ \varphi(c), \varphi(d) > {\red 0}}\), gdzie \(\displaystyle{ c \in L}\) i \(\displaystyle{ d \in S \setminus L}\). Nietrudno wykazać, że punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) należą do różnych składowych spójności zbioru \(\displaystyle{ \{ x \in S : \varphi(x) \ge \red 0 \} \setminus \{ {\red {\varphi(d)} } \}}\), co jest sprzeczne z faktem, że \(\displaystyle{ L}\) jest łukiem zawartym w tym zbiorze łączącym \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ b}\).

Powinno chyba być \(\displaystyle{ \varphi(c), \varphi(d) > v}\) i \(\displaystyle{ \{ x \in S : \varphi(x) \ge v \} \setminus \{ d\}}\).