Matematyka.pl

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ Y=\left\{-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\} \cup \{0\} \cup \{n\in\mathbb{N}\}}\). Czy \(\displaystyle{ Y}\) z topologią euklidesową dziedziczoną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest lokalnie zwarty? Czy \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z topologią euklidesową dziedziczoną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest lokalnie zwarty?

Jakieś własne próby rozwiązania? Albo chociaż pomysły na odpowiedź?

rose93 pisze: ↑2 kwie 2022, o 13:20 Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ Y=\left\{-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\} \cup \{0\} \cup \{n\in\mathbb{N}\}}\).

Jak już, to \(\displaystyle{ Y=\left\{-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\} \cup \{0\} \cup \mathbb{N}}\).

JK

Jeżeli wiemy, że domknięta podprzestrzeń przestrzeni lokalnie zwartej jest lokalnie zwarta, to nie ma czego rozwiązywać, bo przestrzeń ta jest zdecydowanie domknięta w lokalnie zwartej przecież przestrzeni liczb rzeczywistych.