Łamaną na płaszczyźnie z punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) nazywamy sumę skończenie wielu odcinków (odcinków o dodatniej długości, nie jednopunktowych, o dodatniej długości): \(\displaystyle{ B_i:=\left[ A_i; A _{i+1} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,2, \ldots,n}\), a \(\displaystyle{ A_i, A _{i+1}}\) są końcami takich odpowiednich odcinków (są to odpowiednio lewe i prawe końce), wtedy sumę takich odcinków, takich że:
1): \(\displaystyle{ A_1= A}\); \(\displaystyle{ A _{n+1}=B}\);
2): odcinki \(\displaystyle{ B_i}\) i \(\displaystyle{ B_j}\) przecinają się (mają co najmniej jeden punkt wspólny), wtedy i tylko wtedy, gdy: \(\displaystyle{ \left| i-j\right| \le 1}\);
3): \(\displaystyle{ B_i \cap B _{i+1}=\left\{ A _{i+1} \right\} }\), dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n-1;}\)
nazywamy łamaną z punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B.}\)
Czyli jest to suma skończenie wielu odcinków, gdzie lewy koniec pierwszego odcinka pokrywa się z punktem \(\displaystyle{ A}\) a prawy koniec ostatniego odcinka pokrywa się z punktem \(\displaystyle{ B}\), i gdzie tylko sąsiednie odcinki przecinają się, i to w dokładnie jednym wspólnym końcu tych dwóch odcinków.
W przypadku gdy punkt \(\displaystyle{ A}\) pokrywa się z punktem \(\displaystyle{ B}\), to łamaną nazywamy zamkniętą.
Przypomnijmy, mamy:
Twierdzenie o konfiguracji, str. 31.
Twierdzenie to mówi, że jeśli łamana zamknięta ogranicza obszar wewnętrzny \(\displaystyle{ G}\), to łamana łącząca w \(\displaystyle{ G}\) dwa punkty brzegowe tej danej łamanej zamkniętej rozcina ten obszar na dwa obszary i jest ich wspólnym brzegiem( ale szczegółowego dowodu tego faktu to go nie studiowałem).
I, w podanym linku, w następnym twierdzeniu udowodniono (ale, jak dla mnie, to zbyt mało szczegółowo) taki intuicyjnie oczywisty fakt, mówiący, że jeśli łamana zamknięta \(\displaystyle{ S}\) ogranicza obszar wewnętrzny \(\displaystyle{ G}\), to jeśli rozważymy łamaną \(\displaystyle{ S_1}\) łączącą dwa punkty brzegowe tego obszaru (wiemy, że wtedy taka łamana rozetnie ten obszar na dwa obszary, będąc ich wspólnym brzegiem), i jeśli weźmiemy dwa punkty z danej łamanej zamkniętej \(\displaystyle{ S}\)- jeden z jednego tego uzyskanego obszaru, a drugi z drugiego, i gdy połączymy je łamaną, nazwijmy ją \(\displaystyle{ S_2}\), to łamane \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) muszą się przeciąć. Intuicyjnie to jest to oczywiste, ale mimo to, to coś mnie w tym kręci- można bowiem interesować się wymyślną matematyką, a można interesować się podstawami matematyki, gdzie trzeba często udowadniać rzeczy intuicyjnie zupełnie oczywiste (ale nie koniecznie oczywiste w udowodnieniu). Przedstawię teraz dokładny dowód tego faktu (jedno przejście w dowodzie będzie mniej szczegółowo podane- niestety w pełni do końca to nie dałem rady):
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie łamaną zamkniętą.
Na mocy twierdzenia Jordana łamana ta rozcina płaszczyznę na dwa obszary. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie obszarem wewnętrznym. Niech \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) będą punktami tej łamanej, i połączmy je w obszarze \(\displaystyle{ G}\) pewną łamaną \(\displaystyle{ L}\). Na mocy przytoczonego powyżej faktu taka łamana rozcina obszar \(\displaystyle{ G}\) na dwa obszary \(\displaystyle{ G'}\) i \(\displaystyle{ G''}\) i jest ich wspólnym brzegiem. Niech \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ z}\) będą punktami łamanej \(\displaystyle{ S}\) leżącymi odpowiednio po jednej i drugiej stronie łamanej \(\displaystyle{ L}\), i połączmy je w obszarze \(\displaystyle{ G}\) pewną łamaną \(\displaystyle{ K}\). Wtedy łamana \(\displaystyle{ K}\) przecina łamaną \(\displaystyle{ L}\). Oto:
ILUSTRACJA TEGO 'OCZYWISTEGO' FAKTU:\(\displaystyle{ \\}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Brzeg obszaru \(\displaystyle{ G'}\) jest sumą łamanej \(\displaystyle{ L}\) i jednego z dwóch obszarów na jakie rozcinają punkty \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) łamaną zamkniętą \(\displaystyle{ S}\). Przyjmijmy, że jest to ten obszar na którym leży punkt \(\displaystyle{ w}\). Punkt \(\displaystyle{ z}\) leży po drugiej stronie, na brzegu obszaru \(\displaystyle{ G''}\). Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie otoczeniem punktu \(\displaystyle{ w}\) rozłącznym z łamaną \(\displaystyle{ L}\), i niech \(\displaystyle{ V}\) będzie otoczeniem punktu \(\displaystyle{ z}\) rozłącznym z łamaną \(\displaystyle{ L}\) (ponieważ zbiór \(\displaystyle{ G}\) jest zbiorem otwartym, to z własności zbiorów otwartych wynika, że da się zawsze znaleźć takie otoczenia). Weźmy dwa punkty \(\displaystyle{ x'}\) i \(\displaystyle{ x''}\) na łamanej \(\displaystyle{ K}\), tzn. punkt \(\displaystyle{ x'}\), taki, że \(\displaystyle{ x' \in K \cap U \cap G'}\), i weźmy punkt \(\displaystyle{ x'' \in K \cap V \cap G''}\) (z własności brzegu, wynika, że takie punkty da się zawsze znaleźć). Ponieważ \(\displaystyle{ x' \in G'}\) i \(\displaystyle{ x'' \in G''}\), a zbiory \(\displaystyle{ G'}\) i \(\displaystyle{ G''}\) są rozłączne, więc \(\displaystyle{ x''\not \in G'}\). A zatem, ponieważ łamana \(\displaystyle{ K}\) jest linią ciągłą, więc część krzywej \(\displaystyle{ K}\) łącząca punkty \(\displaystyle{ x'}\) i \(\displaystyle{ x''}\) przecina brzeg obszaru \(\displaystyle{ G'}\), zapiszmy to jako: \(\displaystyle{ \left| x'; x''\right| \cap Fr\left( G'\right) \neq \left\{ \right\} }\). Ponieważ łamana \(\displaystyle{ K}\) nie przecina łamanej zamkniętej \(\displaystyle{ S}\) (poza punktami \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ z}\)), więc \(\displaystyle{ \left| x', x''\right| \cap S \subset K \cap S \subset \left\{ w,z\right\}}\) , a zatem również \(\displaystyle{ \left| x';x''\right| \cap S \subset \left\{ w,z\right\}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left| x'; x''\right| \cap Fr\left( G'\right) \neq \left\{ \right\}}\) , więc istnieje punkt \(\displaystyle{ P \in \left| x';x''\right| \cap Fr\left( G'\right)}\). Wtedy, ponieważ \(\displaystyle{ x' \in G'}\) (a więc jest to punkt wewnętrzny tego obszaru), a \(\displaystyle{ P \in \left| x';x''\right|}\), więc \(\displaystyle{ P \neq w}\), w podobny sposób otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ P \neq z}\). A zatem \(\displaystyle{ P\not \in S}\), bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ P \in S}\), to \(\displaystyle{ P \in \left| x', x''\right| \cap S \subset \left\{ w,z\right\}}\), a zatem: \(\displaystyle{ P=w}\) lub \(\displaystyle{ P=z}\)-sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ P\not\in S}\), a zatem \(\displaystyle{ P \in Fr\left( G'\right) \setminus S= L.}\) A ponieważ \(\displaystyle{ P \in \left| x'; x''\right| \subset K}\), więc \(\displaystyle{ P \in K \cap L.}\) Czyli łamana \(\displaystyle{ K}\) przecina łamaną \(\displaystyle{ L.\square}\)
