Matematyka.pl

Zbiór liczb wymiernych nie jest łączny/połączony. Dlaczego? Jak go rozbić na sumę dwóch zbiorów otwartych, jak zbiór liczb wymiernych to przeliczalna suma zbiorów domkniętych jedno elementowych?

Poczytaj sobie o przekrojach Dedekinda. To dużo więcej niż to o co pytasz, ale każdy nauczyciel matematyki powinien o tym słyszeć

Aż tak źle mi życzysz? Bym została nauczycielką?
Domyślam się, że przekroje w tym kontekście znaczy dużo zbiorów, a w definicji jest suma tylko dwóch.

No przecież dorabiasz korepetycjami - sama się chwaliłaś. A kimże jest korepetytor, jak nie nauczycielem na kawałek etatu.

A poza tym, może kiedyś zostaniesz magistrem. Dowiedz się jaki jest źródłosłów tego pojęcia.


Nie domyślaj się, tylko wsadź nos w książkę. Matematyk nie może nie znać tego pojęcia.

Dodano po 1 minucie 37 sekundach:
Na którym roku już jesteś, na drugim? To chyba znasz pojęcie łączności i wiesz, że nie ono nic wspólnego z 'byciem jednym kawałkiem"

Podejrzewam, że "łączny/połączony" jest kalką słowa "connected", a Niepokonana nie wie, że po polsku ten termin to "spójny".

JK

Niepokonana pisze: ↑11 sie 2023, o 16:02 Jak go rozbić na sumę dwóch zbiorów otwartych

Skoro o spójność chodzi to zastanów się jak wyglądają zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \QQ}\).

Tak, masz rację Janie XDD Dlatego piszę na polskim forum i zajmuję się polską matematyką! I w takim razie powinno się w angielskim mówić cohesive sets a nie connected sets!
Poza tym a4karo błędnie zakładasz, że ja wszystkie lata zdaję i wszystkie przedmioty zaliczam.

Eeee, nie wiem? Zbiór liczb odwrotnych do liczb naturalnych będzie otwarty?

Topologia na \(\displaystyle{ \QQ}\) jest topologią dziedziczoną z \(\displaystyle{ \RR}\), więc zbiory otwarte w tej topologii są postaci \(\displaystyle{ U\cap \QQ}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym podzbiorem prostej rzeczywistej.

JK

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 00:46 Zbiór liczb odwrotnych do liczb naturalnych będzie otwarty?

Nie będzie otwarty bo jest w nim dajmy na to \(\displaystyle{ 1\in\left\{ 1/n:n\in\NN\right\} }\), element ten nie daje się przykryć zbiorem otwartym zawartym w \(\displaystyle{ \left\{ 1/n:n\in\NN\right\}}\). Domknięty też nie jest bo \(\displaystyle{ 0\not\in \left\{ 1/n:n\in\NN\right\}}\), a do zera można zbiegać. Zatem \(\displaystyle{ \left\{ 1/n:n\in\NN\right\}}\) nie jest ani otwarty ani domknięty. Ty szukasz jednak (nietrywialnego \(\displaystyle{ \not=\varnothing,\QQ}\)) zbioru który jest jednocześnie otwarty i domknięty. Jak go znajdziesz (nazwijmy go \(\displaystyle{ C}\)) to dostaniesz podzial \(\displaystyle{ \QQ}\) na dwa zbiory otwarte. Mianowicie \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ \QQ \setminus C}\). Przy czym \(\displaystyle{ \QQ \setminus C}\) będzie otwarty bo \(\displaystyle{ C}\) jest domknięty. Pozostało Ci teraz wskazać kandydata \(\displaystyle{ C}\).

Zacznij od wskazania jakiegoś zbioru otwartego w \(\displaystyle{ \QQ}\). Czyli wracamy do wskazówki jaką dałem

Janusz Tracz pisze: ↑12 sie 2023, o 00:05 Zastanów się jak wyglądają zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \QQ}\).

I wracamy do wskazówki do mojej wskazówki, którą dał Jan

Jan Kraszewski pisze: ↑12 sie 2023, o 11:12 zbiory otwarte w tej topologii są postaci \(\displaystyle{ U\cap \QQ}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym podzbiorem prostej rzeczywistej.

JK

Skoro już wiesz co jest otwarte w \(\displaystyle{ \QQ}\) to zaproponuj \(\displaystyle{ C}\).

PS wsk: to jest proste.

Nie można jakoś tak dać, że wymierne od minus nieskończoności do zera i potem od zera do nieskończoności...?
Nie wiem, co to w ogóle za głupoty. To prosta będzie dziedziczyć topologię po liczbach zespolonych itd.? Liczby wymierne są same w sobie zbiorem!

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 15:04 Nie można jakoś tak dać, że wymierne od minus nieskończoności do zera i potem od zera do nieskończoności...?

Jesteś blisko poprawnej odpowiedzi. Zbiór \(\displaystyle{ (-\infty,0)\cap\QQ}\) istotnie jest otwarty. Ale nie jest domknięty bo do zera można dążyć po wymiernych, a \(\displaystyle{ 0\not\in (-\infty,0)\cap\QQ}\). Domkniecie przedziału niewiele da \(\displaystyle{ (-\infty,0]\cap\QQ}\) jest domknięty ale nie otwarty bo teraz zero przeszkadza. Jednak jeśli zmienisz zero na coś innego to argument zadziała.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 15:04 Nie wiem, co to w ogóle za głupoty. To prosta będzie dziedziczyć topologię po liczbach zespolonych itd.? Liczby wymierne są same w sobie zbiorem!

Niekoniecznie \(\displaystyle{ \RR}\) musi dziedziczyć topologię z \(\displaystyle{ \CC}\), choć może. Tak samo jak \(\displaystyle{ \QQ}\) niekoniecznie dziedziczy topologię z \(\displaystyle{ \RR}\), choć też może. Tu jednak ważny jest kontekst. \(\displaystyle{ \RR}\) ma bardzo naturalną topologię euklidesową. Oczywiście \(\displaystyle{ \QQ \subset \RR}\) więc topologa podprzestrzeni to naturalny wybór. Nikt więc Cię nie męczy abyś określała topologię na \(\displaystyle{ \RR}\) czy \(\displaystyle{ \QQ}\) bo zakładamy najrozsądniejszy scenariusz pytania.

Można oczywiście zmienić topologię na \(\displaystyle{ \RR}\) wtedy topologia indukowana na \(\displaystyle{ \QQ}\) będzie potencjalnie bardzo inna. Możliwe nawet, że \(\displaystyle{ \QQ}\) będzie w niej spójne. Można w ogólne nie rozważać topologii dziedziczonej z \(\displaystyle{ \RR}\), tylko od razu jakąś zadać bezpośrednio na \(\displaystyle{ \QQ}\). Tak czy inaczej te bardziej egzotyczne topologie nie stanowią kanonu. Więc jeśli chcesz je rozważać to musisz wyrazić taką chęć w pytaniu. Bo inaczej 99% ludzi uzna, że wybierasz wersję kanoniczną.

Zamiast zera dać \(\displaystyle{ - \frac{1}{n} }\)? Albo właśnie \(\displaystyle{ 0+ \frac{1}{n} }\). Nie wiem, tak jakoś.

Faktycznie wydaje się to dość naturalne, ale no nikt mnie tego nie tłumaczył w ten sposób. Czyli co. Według tejże topologii jak zrobię przecięcie np. \(\displaystyle{ (0;1)}\) z wymiernymi, to będzie to otwarte w wymiernych?

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 19:56 Zamiast zera dać \(\displaystyle{ - \frac{1}{n} }\)? Albo właśnie \(\displaystyle{ 0+ \frac{1}{n} }\). Nie wiem, tak jakoś.

A czym jest \(\displaystyle{ n}\) i dlaczego \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1}{n} \right) \cap \QQ }\) miałby być domknięty?

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 19:56 Czyli co. Według tejże topologii jak zrobię przecięcie np. \(\displaystyle{ (0;1)}\) z wymiernymi, to będzie to otwarte w wymiernych?

Tak. To jest przykładowy zbiór otwarty w \(\displaystyle{ \QQ}\). Ale zbiór postaci \(\displaystyle{ (-\infty,x) \cap \QQ}\) się bardziej przyda. Tylko szukaj \(\displaystyle{ x}\) dobrego.

Powinieneś założyć, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną i to bardzo dużą, bo tak jest naturalnie.
No bo singleton z jakiejś liczby wymiernej jest zbiorem domkniętym, a tu mamy dużo takich singletonów, chociaż jak gdyby się zastanowić to przedział otwarty to też bardzo dużo singletonów.

I co, i wtedy już dostaniemy podział liczb wymiernych?
No dobra, to dajmy na przykład \(\displaystyle{ x=e}\), bo \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierne i podzieli nam na pół, ale nie będzie się zawierać w zbiorze końcowym.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 20:20 Powinieneś założyć, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną i to bardzo dużą, bo tak jest naturalnie.

Uznam to za żart.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 20:20 No bo singleton z jakiejś liczby wymiernej jest zbiorem domkniętym, a tu mamy dużo takich singletonów, chociaż jak gdyby się zastanowić to przedział otwarty to też bardzo dużo singletonów.

Nie wiem co to ma do rzeczy.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 20:20 I co, i wtedy już dostaniemy podział liczb wymiernych?

A zaproponowałaś jakiś podział? Tak czy inaczej od tego momentu zaczyna się sensownie:

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 20:20 No dobra, to dajmy na przykład \(\displaystyle{ x=e}\), bo \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierne i podzieli nam na pół, ale nie będzie się zawierać w zbiorze końcowym.

No i elegancko. Teraz sprawdzaj czy działa. To znaczy odpowiedz czy

• zbiór \(\displaystyle{ (-\infty,e) \cap \QQ}\) jest otwarty?

• A czy jest domknięty? Jakie ma dopełnienie. Może łatwiej będzie pokazać, że dopełnienie jest otwarte...