Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli kula \(\displaystyle{ K(x,r)}\) zawiera dwie kule rozłączne, to promień przynajmniej jednej z nich jest mniejszy niż \(\displaystyle{ r}\)

Weźmy dwie kule rozłączne \(\displaystyle{ K(x_1,r_1)}\) i \(\displaystyle{ K(x_2,r_2)}\) zawarte w \(\displaystyle{ K(x,r)}\).

Przypuśćmy, że teza nie jest prawdą, czyli \(\displaystyle{ r_1\geq r\;\wedge r_2\geq r}\)
Jeśli kule mają być zawarte w \(\displaystyle{ K(x,r)}\) to mamy warunki \(\displaystyle{ r_1=r}\) i \(\displaystyle{ r_2=r}\), czyli \(\displaystyle{ r_1=r_2=r}\), ale kule są rozłączne i tu mamy sprzeczność.

dziękuje bardzo

Niech:

\(\displaystyle{ K=K(x,r)}\)

\(\displaystyle{ K_1=K(x_1,r_1)}\)

\(\displaystyle{ K_2=K(x_2,r_2)}\)

\(\displaystyle{ K_1\cup K_2\subseteq K}\)

\(\displaystyle{ K_1\cap K_2=\emptyset}\).

Chcemy pokazac, ze

\(\displaystyle{ r>r_1}\)

lub

\(\displaystyle{ r>r_2}\)

Dowod:

Mamy:

\(\displaystyle{ d(x_1,x)\le r}\), czyli \(\displaystyle{ x\in K(x_1,r)}\)

\(\displaystyle{ d(x_2,x)\le r}\), czyli \(\displaystyle{ x\in K(x_2,r)}\)

gdyby wiec

\(\displaystyle{ r_1\ge r}\)

oraz

\(\displaystyle{ r_2\ge r}\),

to

\(\displaystyle{ x\in K(x_1,r)\cap K(x_2,r)\subseteq K_1\cap K_2}\),

co przeczy rozlacznosci kul \(\displaystyle{ K_1,K_2}\).

Moze sie natomiast zdarzyc, ze \(\displaystyle{ r_1=r, r_2=(1-\varepsilon)r}\), (\(\displaystyle{ \varepsilon}\) dowolnie male dodatnie) lecz kule \(\displaystyle{ K_1,K_2}\) sa rozlaczne, mimo, ze obie zawarte w kuli o promieniu \(\displaystyle{ r}\).

Moze sie tez zdarzyc, ze kule \(\displaystyle{ K_1,K_2,K}\) maja promien \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ K_1\cup K_2\subseteq K}\) lecz kule \(\displaystyle{ K_1,K_2}\) przecinaja sie tylko w jednym punkcie...