Matematyka.pl

Na początek ustalmy kierunek \(\displaystyle{ \alpha}\) prostych leżących na płaszczyźnie, kierunek nie równoległy do żadnego z boków wielokąta \(\displaystyle{ P}\). Ponieważ wielokąt ma skończoną ilość boków, a wszystkich kierunków na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele, więc jest to zawsze możliwe. Ponieważ proste poprowadzone w tym kierunku nie są równoległe do żadnego z boków wielokąta (których jest skończona ilość, nazwijmy ją \(\displaystyle{ n}\)), więc proste poprowadzone w tym kierunku przecinają wielokąt w co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) punktach (po co najwyżej jednym punkcie dla każdego boku wielokąta), a więc takich punktów jest skończenie wiele.
Zbiór \(\displaystyle{ \RR ^{2} \setminus P}\) dzielimy na klasy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) w następujący sposób:
Klasa \(\displaystyle{ A-}\) jest to zbiór punktów \(\displaystyle{ p}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR ^{2} \setminus P}\), takich, że półprosta wychodząca z punktu \(\displaystyle{ p}\) poprowadzona w naszym kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\) przecina wielokąt w parzystej ilości \(\displaystyle{ 0,2,4,\ldots}\) punktów. W przeciwnym wypadku, tzn. gdy takie półproste przecinają wielokąt w nieparzystej ilości \(\displaystyle{ 1,3,5,\ldots}\) punktów, to takie punkty \(\displaystyle{ p}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR ^{2} \setminus P}\) zaliczamy do klasy \(\displaystyle{ B}\). Przy czym, jeśli chodzi o półproste przecinające wielokąt w wierzchołkach, to to takie przecięcia będziemy liczyć tylko w sytuacji, gdy dwa boki wielokąta wychodzące z tego wierzchołka leżą po przeciwnych stronach tej półprostej poprowadzonej w kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\). Oto ilustracja tej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Będziemy mówili, że dwa punkty płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR ^{2} \setminus P}\) mają tą samą parzystość gdy należą do tej samej klasy (czyli gdy te obydwa punkty należą do klasy \(\displaystyle{ A}\) lub gdy obydwa należą do klasy \(\displaystyle{ B}\)).

Wykażemy najpierw, że wszystkie punkty leżące na odcinku nie przecinającym wielokąta \(\displaystyle{ P}\) mają tą samą parzystość.
Jeśli ten odcinek ma ten sam kierunek co nasz kierunek \(\displaystyle{ \alpha}\) , to to jest oczywiste (bo dla punktów tego odcinka wtedy liczba przecięć półprostych wyprowadzonych z takich punktów w przecięciu z naszym wielokątem, liczba takich przecięć się nie zmienia, bo ten odcinek ma zero przecięć z wielokątem \(\displaystyle{ P}\)).
Jeśli zaś ten odcinek ma kierunek inny niż \(\displaystyle{ \alpha}\), to: parzystość punktów \(\displaystyle{ p}\) poruszających się wzdłuż takiego odcinka może się zmieniać w (w zasadzie) tylko dwóch przypadkach:
1) półprosta wychodząca z punktu \(\displaystyle{ p}\) takiego odcinka poprowadzona w naszym kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\) przecina wielokąt w wierzchołku, gdzie boki takiego wielokąta wychodzące z tego wierzchołka są skierowane ku górze, a dla drugiej półprostej poprowadzonej z innego punktu takiego odcinka- taka półprosta leży 'pod' takim wierzchołkiem; oto ilustracja takiej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
2) półprosta wychodząca z punktu \(\displaystyle{ p}\) takiego odcinka poprowadzona w naszym kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\) przecina wielokąt w wierzchołku, gdzie boki takiego wielokąta wychodzące z tego wierzchołka są skierowane ku dole, a dla drugiej półprostej poprowadzonej z innego punktu takiego odcinka- taka półprosta leży 'nad' takim wierzchołkiem; oto ilustracja takiej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
3)Ewentualnie może zajść przypadek, gdy półprosta wychodząca z punktu \(\displaystyle{ p}\) takiego odcinka poprowadzona w naszym kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\) przecina wielokąt w wierzchołku, gdzie jeden bok wychodzący z tego wierzchołka jest skierowany ku górze, a drugi ku dole, a dla drugiej półprostej poprowadzonej z innego punktu takiego odcinka- taka półprosta leży 'pod' takim wierzchołkiem- jednak ten przypadek sprowadza się do przypadku 1);
4) i analogiczna sytuacja, która sprowadza się do przypadku 2).

W przypadku 1), ponieważ liczymy przecięcia w wierzchołkach, tylko wtedy, gdy dwa boki wychodzące z tego wierzchołka leżą po przeciwnych stronach, więc tych przecięć tutaj nie liczymy, druga półprosta leży pod wierzchołkiem, czyli też jej nie liczymy, a zatem parzystość takich dwóch punktów się nie zmieni; w symetryczny sposób, w przypadku drugim, parzystość takich dwóch punktów się nie zmieni.
Wobec czego parzystość punktów leżących na odcinku nie przecinającym wielokąta \(\displaystyle{ P}\) jest stała. Stąd, przez prostą indukcję, otrzymamy, że wszystkie punkty dowolnej łamanej nie przecinającej wielokąta \(\displaystyle{ P}\) mają tą samą parzystość. Wynika stąd, że jeżeli połączymy dowolny punkt \(\displaystyle{ p_1}\) z klasy \(\displaystyle{ A}\) z dowolnym punktem \(\displaystyle{ p_2}\) z klasy \(\displaystyle{ B,}\) łamaną, to ta łamana musi przeciąć wielokąt \(\displaystyle{ P}\), bo, w przeciwnym razie, wszystkie punkty tej łamanej, w szczególności punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) miałyby tą samą parzystość, a \(\displaystyle{ p_1 \in A}\) i \(\displaystyle{ p_2 \in B}\)-sprzeczność. Kończy to połowę dowodu tego faktu.

Wykażemy teraz, że dowolne dwa punkty tej samej klasy (\(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\)) można połączyć drogą w postaci łamanej nie przecinającej wielokąta \(\displaystyle{ P}\). Weźmy dwa takie punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\). Jeśli odcinek \(\displaystyle{ \left| p_1; p_2\right|}\) nie przecina wielokąta \(\displaystyle{ P}\), to jest on żądaną drogą. W przeciwnym razie, ilość takich przecięć jest niepusta, a ponieważ prosta ma długość dłuższą niż suma wszystkich odcinków tego wielokąta, więc prowadząc taką prostą pojawi się wtedy taki ostatni punkt przecięcia (tzn. najdalej położony- nie wykluczmy tu sytuacji, gdy prosta pokryje pewien bok (boki), tego wielokąta, ale, prowadząc taką prostą, ponieważ prostą można dowolnie przedłużać, a odcinek nie, i ponieważ ilość boków wielokąta jest skończona, to wystąpi taki ostatni punkt, nazwijmy go \(\displaystyle{ y}\)), a pierwszy taki punkt nazwijmy \(\displaystyle{ x}\). Budujemy drogę od punktu \(\displaystyle{ p_1}\) wzdłuż odcinka \(\displaystyle{ \left| p_1x\right|,}\) potem skręcającą przed punktem \(\displaystyle{ x}\) (w odległości odpowiednio małej- ilość boków wielokąta jest skończona, możemy zatem dobrać odpowiednio małą taką szerokość), i idziemy wzdłuż obwodu takiego wielokąta aż do punktu \(\displaystyle{ y}\), oto ilustracja takiej konstrukcji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Ponieważ punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) należą do tej samej klasy (\(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\)), to mają taką samą parzystość, a zatem różnica rozważanych odpowiednich ilości przecięć jest liczbą parzystą, a zatem ilość punktów pomiędzy punktami (włącznie z końcami ) \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą parzystą. Zauważmy, że ponieważ wielokąt \(\displaystyle{ P}\) jest krzywą ciągłą, więc przechodząc od dołu ku górze względem odcinka \(\displaystyle{ \left| xy\right|, }\) w następnym kroku musimy przejść od góry ku dole, a przechodząc od góry ku dole, to na odwrót. Tak samo jest nawet w sytuacji gdy ten odcinek przykrywa niektóre boki tego wielokąta (tzn. musimy przejść z jednej strony prostej na drugą i na odwrót). Oto ilustracja tej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)Z poniższych rysunków, wynika, że gdy przechodzimy za punktem \(\displaystyle{ y}\), to wtedy ilość przecięć odcinka \(\displaystyle{ \left| xy\right| }\) z wielokątem \(\displaystyle{ P}\) jest (na rysunku) jest parzysta. A zatem, ponieważ ilość punktów pomiędzy punktem \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\) jest parzysta, więc na mocy powyższej uwagi, musimy przejść za punktem \(\displaystyle{ y}\), a zatem ta droga przedłużona wzdłuż odcinka \(\displaystyle{ \left| y p_2\right| }\) nie przecina wielokąta, czyli punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) można połączyć drogą nie przecinającą wielokąta \(\displaystyle{ P}\). Kończy to dowód tego faktu\(\displaystyle{ .\square}\)

Na koniec dodajmy, że klasa \(\displaystyle{ A}\) stanowi zewnętrze wielokąta, bowiem jeśli prowadząc półprostą odpowiednio daleko w kierunku \(\displaystyle{ \alpha}\)- wtedy nie będzie już przecięć takiej półprostej z wielokątem, a więc wszystkie dalsze punkty będą miały parzystość równą zero, należą więc do klasy \(\displaystyle{ A}\), a zatem klasa \(\displaystyle{ A}\) stanowi zewnętrze wielokąta, a więc klasa \(\displaystyle{ B}\) stanowi zatem jego wnętrze.