Matematyka.pl

witam!!
potrzebuję dowodu, że "Każdy zbiór skończony jest zbiorem domkniętym."
byłabym wdzięczna za pomoc.

To nie jest prawda. Więcej, można z łatwością wskazać przestrzeń, w której dowolny skończony i niepusty podzbiór nie jest domknięty, np. prosta z topologią antydyskretną.

ale niestety to jest prawda. mam to jako jeden z 8 podpunktów lematu, który wykorzystuję w pracy magisterskiej. i potrzebuję dowodu na TAK.

rece opadaja...

marcia07 pisze:ale niestety to jest prawda. mam to jako jeden z 8 podpunktów lematu, który wykorzystuję w pracy magisterskiej. i potrzebuję dowodu na TAK.

To dość oryginalny argument... Jeżeli potrzebujesz dowodu na TAK, to może sprecyzuj nieco sytuację, na przykład podaj, jakiej przestrzeni topologicznej dotyczy Twój lemat.
JK

ale niestety to jest prawda

Podejrzewam, że masz jakieś założenia o topologii przestrzeni, które badasz. Może więc warto powiedzieć, że twierdzenie, które podałaś jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy rozważana przestrzeń topologiczna jest klasy \(\displaystyle{ T_{1}}\) (mówimy, że jest to przestrzeń Frecheta).

Co to jest przestrzeń \(\displaystyle{ T_1}\) , a potem udowodnij łatwiutkie stwierdzenie:

Stw.

Przestrzeń topologiczna X jest klasy \(\displaystyle{ T_1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym.

--

Potem wystarczy skorzystać z faktu, że suma skończona zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym i lemat z głowy. Na wielu uczelniach rzeczywiście nie mówi się wiele o przestrzeniach nie będących klasy T1, bo są to rzeczy nieco dziwne. Mimo to przykład przestrzeni antydyskretnej jest na każdym (mam nadzieję) kursie topologii

lemat dotyczy "dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d)", a nie konkretnych jak wspominacie. nie ma żadnych dodatkowych założeń co do przestrzeni.

g pisze:rece opadaja...

za takie komentarze dziękuję. równie dobrze mogłeś nic nie pisać. żenada...i to się inteligencją nazywa...

komentarz nie dotyczyl tego, ze ktos nie wie jak cos udowodnic (stawiam, ze o to autorka sie obraza). nie mam w zwyczaju gnoic kogos, za to ze czegos nie umie, bo takie zachowanie jest owszem prostackie. ale jak ktos nie slucha co sie do niego/niej mowi badz nie wykazuje skazenia umyslu jakimkolwiek procesem myslowym, to zgnoje bardzo chetnie - jak jest dowod na NIE i widac ze jest poprawny to nie oznacza to, ze jest TAK, bo ktos madry powiedzial TAK. czasem trzeba pomyslec i dopuscic blad osoby trzeciej, a nie podawac w watpliwosc oczywista prawde. jak sie nie umie na poczatku napisac o jaki typ przestrzeni topologicznej chodzi i jeszcze sie potem kloci, ze dobry dowod jest na pewno zly bo TAK jest, to przykro mi, ale moja reakcja jest jedna. na przyszlosc sugeruje sie troche bardziej zastanowic przed wyslaniem posta.

niech \(\displaystyle{ r < {1 \over 2} \min_{x,y A} d(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest tym zbiorem skonczonym. niech \(\displaystyle{ B = X \setminus \left( \bigcup_{a A} K(a,r) \right)}\). wtedy \(\displaystyle{ X \setminus A = \bigcup_{x B} K(x,r)}\) jest zbiorem otwartym jako suma kul, czyli to, co trzeba.

marcia07 pisze:lemat dotyczy "dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d)", a nie konkretnych jak wspominacie. nie ma żadnych dodatkowych założeń co do przestrzeni.

Widzisz, przestrzeń metryczna to bardzo specjalna przestrzeń topologiczna. Założenie metryzowalności jest właśnie dodatkowym założeniem co do przestrzeni. A dowód to już ci g podał.
JK