Homeomorfizm
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Homeomorfizm
Czy każde różnowartościowe i ciągłe przekształcenie przestrzeni zwartej na przestrzeń zwartą jest homeomorfizmem
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Homeomorfizm
Zadanie wymaga niestety doprecyzowania - niektórzy za przestrzeń zwartą uznają taką, której każde pokrycie zbiorami otwartymi ma skończone podpokrycie, inni zaś wymagają dodatkowo, by spełniała ona warunek Hausdorffa (\(\displaystyle{ T_2}\)). Nawiasem mówiąc, podany problem jest jednym z powodów, dla których drugi wariant definicji jest tak atrakcyjny.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Homeomorfizm
Ja jednak z tym drugim warunkiem wolałbym się powstrzymać...
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)
Niech \(\displaystyle{ Y}\) ma topologię trywialną
przekształcenie jest ciągłe i czy to będzie homeomorfizmem ?
\(\displaystyle{ Y }\)jest jak najbardziej zwarta, \(\displaystyle{ X }\)też możemy uzwarcić i czy jest? na pewno nie musi...
Przykład:
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)
\(\displaystyle{ \tau_{X} =\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1,2\right\}\right\} }\)
\(\displaystyle{ Y=X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)
\(\displaystyle{ \tau_{Y} =\left\{ \emptyset, X\right\} }\)
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)
\(\displaystyle{ f=id}\)
Oczywiście:
\(\displaystyle{ X, Y}\) - zwarte
\(\displaystyle{ f}\) - ciągłe
ale:
\(\displaystyle{ f^{-1}}\) - nie ciągłe, czyli \(\displaystyle{ f }\) nie homeomorfizm...
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)
Niech \(\displaystyle{ Y}\) ma topologię trywialną
przekształcenie jest ciągłe i czy to będzie homeomorfizmem ?
\(\displaystyle{ Y }\)jest jak najbardziej zwarta, \(\displaystyle{ X }\)też możemy uzwarcić i czy jest? na pewno nie musi...
Przykład:
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)
\(\displaystyle{ \tau_{X} =\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1,2\right\}\right\} }\)
\(\displaystyle{ Y=X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)
\(\displaystyle{ \tau_{Y} =\left\{ \emptyset, X\right\} }\)
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)
\(\displaystyle{ f=id}\)
Oczywiście:
\(\displaystyle{ X, Y}\) - zwarte
\(\displaystyle{ f}\) - ciągłe
ale:
\(\displaystyle{ f^{-1}}\) - nie ciągłe, czyli \(\displaystyle{ f }\) nie homeomorfizm...
Ten wymóg to kwiatek do kożucha...inni zaś wymagają dodatkowo, by spełniała ona warunek Hausdorffa
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Homeomorfizm
Mylisz się, to bardzo pożyteczne i wygodne połączenie. Stosuje je m.in. Ryszard Engelking w klasycznej pozycji Topologia ogólna.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Homeomorfizm
Tak tylko zawęża obszar myślenia bo niektórym się wyda, że przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}, T_{0}}\) i poniżej już nie mogą być zwarte i nikt dla nich nie będzie zwartości używał a np. każda skończona przestrzeń będzie jednak zwarta...
Może mówię to ze względu na sentyment do zbiorów skończonych jaki niewątpliwie mam...
Może mówię to ze względu na sentyment do zbiorów skończonych jaki niewątpliwie mam...