Homeomorfizm skończonego rzędu

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Homeomorfizm skończonego rzędu

Post autor: karolex123 »

Łatwo zobaczyć, że jeśli funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest rzędu \(\displaystyle{ 2}\), to znaczy \(\displaystyle{ f ( f(x))=x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały.

Rozstrzygnij, czy funkcja ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) rzędu \(\displaystyle{ 2}\) ma punkt stały. Czy funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}\) rzędu \(\displaystyle{ 2}\) ma punkt stały dla dowolnego \(\displaystyle{ n \geq 1}\)?

Ogólnie, co dzieje się dla funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}\) skończonego rzędu?

Dodano po 20 dniach 4 godzinach 31 minutach 13 sekundach:
Chyba powinienem wreszcie podać trochę więcej szczegółów

A więc na początek niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie ciągła inwolucją. Wykażemy, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) rośnie, to \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością. To jest jasne, bo jeśli tylko istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x_0)>x_0}\), to automatycznie
\(\displaystyle{ x_0=ff(x_0)>f(x_0)>x_0}\)
co nie jest możliwe. Zatem jeśli \(\displaystyle{ f}\) nie jest identycznościowe, to \(\displaystyle{ f}\) maleje. Zatem, funkcja ciągła \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) jest malejąca i przyjmuje wartości dodatnie jak i ujemne, bo \(\displaystyle{ g(f(x))=-g(x)}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały i to dokładnie jeden, bo \(\displaystyle{ g}\) jest injektywna.

Moja hipoteza jest następująca: dowolna ciągła inwolucja przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) ma punkt stały.

Zmieńmy punkt widzenia. Podnieśmy odwzorowanie \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) do odwzorowania \(\displaystyle{ \bar{f}}\) jednopunktowego uzwarcenia prostej, a więc okręgu \(\displaystyle{ S^1}\). Otrzymujemy inwolucję okręgu z jednym oczywistym punktem stałym; ale na mocy tw. Lefschetza o punkcie stałym, \(\displaystyle{ \bar{f}}\) ma drugi punkt stały, czyli teza. Może można podobny argument zastosować ogólniej? Ktoś chciałby się tym pobawić?

zapraszam do wspólnej dyskusji na ten temat! jeśli ktoś chce się podzielić jakimiś referencjami, to chętnie obejrzę
ODPOWIEDZ