Domkniętośc a ciągowa domkniętość

mustelanivalis · Post autor: **mustelanivalis** » 15 maja 2010, o 20:56

Rozumiem, że to jest tak, że zbiór domknięty zawiera zawsze granice swoich ciagów zbieznych. W związku z analizą funkcjonalną próbowałem znaleźć przykład niedomkniętego zbioru zawierającego wszystkie swoje granice w jakiejś niemetryzowalnej przestrzeni, ale mi to nie wyszło. Może ktoś umie podac takowy (najlepiej we w miarę porządnej przestrzeni, najcudowniej w przestrzeni Banacha ze słabą topologią).

[edit] Znalazłem już na wiki przykład z koprzeliczalną topologią na zbiorze nieprzeliczalnym. Jednak, jak mówiłem zależałoby mi na czymś porządniejszym [/edit]

Lewap · Post autor: **Lewap** » 15 maja 2010, o 22:02

Obawiam się, że mój przykład nie będzie w przestrzeni Banacha ze słabą topologią, ale w też całkiem ładnej niemetryzowalnej (nawet zwartej z gęstym zbiorem punktów izolowanych ) przestrzeni. Rozważmy taki dłuuugi odcinek \(\displaystyle{ [0,\omega_1]}\) (z topologią porządkową) i jego podzbiór \(\displaystyle{ [0,omega_1)}\). Nie jest on domknięty, ale zawiera wszystkie granice ciągów swoich wyrazów.

pipol · Post autor: **pipol** » 16 maja 2010, o 11:19

Weźmy prestrzeń \(\displaystyle{ l^1=\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}: \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|<\infty\}}\) z normą \(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|.}\)
Można pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset l^1}\) jest zbieżny słabo wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny w normie (tzn. mocno). (dowód tego faktu możesz znaleźć o ile się nie mylę w teorii operacji S. Banacha)
Można pokazać (co nie jest trudne), że kula \(\displaystyle{ B=\{x\in l^1 |x||<1\}}\) nie jest otwarta w słabej topologii.
Zatem zbiór \(\displaystyle{ A=l^1 \backslash B}\) jest słabo ciągowo domknięty ale nie jest słabo domknięty.