Domknięcie zbioru w podprzestrzeni

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Domknięcie zbioru w podprzestrzeni

Post autor: pasjonat_matematyki »

Cześć.

Mam problem z dowodem następującego twierdzenia: \(\displaystyle{ (X_{0},\tau_{0})}\) - poprzestrzeń \(\displaystyle{ (X,\tau)}\). \(\displaystyle{ A\subset X_{0}}\). Teza: \(\displaystyle{ cl_{\tau_{0}}A= X_{0}\cap cl_{\tau}A}\).
Wiadomo skądinąd, że \(\displaystyle{ cl_{\tau_{0}}A= X_{0}\cap B}\), \(\displaystyle{ B}\) jest pewnym zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ X}\).
Niech \(\displaystyle{ B_{0}}\) będzie domnięty w \(\displaystyle{ X}\) i niech \(\displaystyle{ A\subset B_{0}\subset B}\). Mamy \(\displaystyle{ A=X_{0}\cap A \subset X_{0}\cap B_{0} \subset X_{0} \cap B=cl_{\tau_{0}}A}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ X_{0}\cap B_{0}}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ X_{0}}\) i zawiera \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ cl_{\tau_{0}}A \subset X_{0} \cap B_{0}}\). Otrzymujemy \(\displaystyle{ X_{0}\cap B_{0}=X_{0}\cap B = cl_{\tau_{0}}A \subset X_{0}}\). Wniosek: \(\displaystyle{ B_{0}=B}\). Czyli \(\displaystyle{ B}\) jest najmniejszy domknięty w \(\displaystyle{ X}\) zawierający \(\displaystyle{ A}\). Nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ B_{0}=B}\). Dlaczego te zbiory miałyby być równe w \(\displaystyle{ X \setminus X_{0}}\)?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Domknięcie zbioru w podprzestrzeni

Post autor: Dasio11 »

Masz rację - w dowodzie jest błąd dokładnie w miejscu, o które pytasz. Nie ma powodu, dla którego \(\displaystyle{ B_0}\) miałoby być równe \(\displaystyle{ B}\).
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Re: Domknięcie zbioru w podprzestrzeni

Post autor: pasjonat_matematyki »

A czy ten dowód nadaje się do poprawy czy trzeba w zupełnie inny sposób to dowieść?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Domknięcie zbioru w podprzestrzeni

Post autor: Dasio11 »

Raczej się nie nadaje, bo zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ B}\) o własności \(\displaystyle{ \cl_{\tau_0} A = X_0 \cap B}\) może być mnóstwo i większość z nich jest mocno przypadkowa. Na przykład niech \(\displaystyle{ X = \RR}\) z topologią euklidesową, \(\displaystyle{ X_0 = (2, 4)}\) i \(\displaystyle{ A = (3, 4)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \cl_{\tau_0} A = [3, 4)}\) i równość

\(\displaystyle{ [3, 4) = (2, 4) \cap B}\)

spełnia dużo dziwnych zbiorów \(\displaystyle{ B}\), w tym \(\displaystyle{ B = [3, 5 \sqrt{7}] \cup \text{zbiór Cantora}}\). Zatem rozważanie dowolnego takiego zbioru \(\displaystyle{ B}\) nie prowadzi do niczego ciekawego. Może dałoby się ten dowód uratować, gdyby \(\displaystyle{ B}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ B \cap \cl_{\tau} A}\).

Ale ja bym dowodził tak: z definicji podprzestrzeni wynika, że

\(\displaystyle{ \{ A \subseteq F_0 \subseteq X_0 : F_0 \text{ jest domknięty w } X_0 \} = \{ X_0 \cap F : A \subseteq F \subseteq X \ \& \ F \text{ jest domknięty w } X \}}\).

W szczególności przekroje tych rodzin są równe. Jednak

\(\displaystyle{ \bigcap \{ A \subseteq F_0 \subseteq X_0 : F_0 \text{ jest domknięty w } X_0 \} = \cl_{\tau_0} A}\)

oraz

\(\displaystyle{ \begin{align*}
&\bigcap \{ X_0 \cap F : A \subseteq F \subseteq X \ \& \ F \text{ jest domknięty w } X \} \\
= \: & X_0 \cap \bigcap \{ A \subseteq F \subseteq X : F \text{ jest domknięty w } X \} \\
= \: & X_0 \cap \cl_{\tau} A,
\end{align*} }\)


co kończy dowód.

Natomiast chyba milsze dla oka byłoby wykazanie dwóch zawierań z wykorzystaniem faktu, że każdy domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X_0}\) daje pewien domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) i vice versa.
ODPOWIEDZ