Definiowanie zbioru otwartego
Definiowanie zbioru otwartego
Znalazłem taką definicję zbioru otwartego: jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest on sumą kul otwartych. Ale przecież dla kuli otwartej też istnieje dowód na jej bycie zbiorem otwartym. Które z tych pojęć ma pierwszeństwo?
-
- Administrator
- Posty: 34298
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Definiowanie zbioru otwartego
Zbiór otwarty z definicji jest elementem ustalonej rodziny zbiorów danej przestrzeni, którą to rodzinę nazywamy topologią.
Natomiast podana przez Ciebie definicja odnosi się do przestrzeni metrycznej i mówi, w jaki sposób metryka zadaje topologię: najpierw zadajemy bazę, czyli rodzinę wszystkich kul otwartych (i sprawdzamy, że rodzina ta spełnia warunki bycia bazą), a potem podana przez Ciebie definicja zbioru otwartego jest konsekwencją ogólnej reguły, mówiącej w jaki sposób definiujemy topologię za pomocą bazy.
JK
Natomiast podana przez Ciebie definicja odnosi się do przestrzeni metrycznej i mówi, w jaki sposób metryka zadaje topologię: najpierw zadajemy bazę, czyli rodzinę wszystkich kul otwartych (i sprawdzamy, że rodzina ta spełnia warunki bycia bazą), a potem podana przez Ciebie definicja zbioru otwartego jest konsekwencją ogólnej reguły, mówiącej w jaki sposób definiujemy topologię za pomocą bazy.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Definiowanie zbioru otwartego
Też mnie to kiedyś zastanawiało.
Niektórzy przyjmują definicję, że zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty, gdy dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ r>0}\) taka, że kula o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) zawiera się w \(\displaystyle{ U}\).
Według takiej definicji otwartość kuli otwartej nie jest natychmiastowym wnioskiem i wymaga krótkiego dowodu (z użyciem nierówności trójkąta).