Matematyka.pl

Witam,

mam do sprawdzenia czy podana niżej funkcja jest metryką. Nie mogę poradzić sobie z nierównością trójkąta. Prosiłbym o wskazówki.

Funkcja \(\displaystyle{ d:mathbb{R}^2 imes mathbb{R}^2 longrightarrow [0,+ infty)}\) dana wzorem:

\(\displaystyle{ d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace}\).

Trzeba pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z}\) z Twojej przestrzeni zachodzi

\(\displaystyle{ d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)}\).

Na początek możesz sobie rozpisać to, co napisałem wyżej.

Właśnie wiem, że taki warunek mam pokazać. Po rozpisaniu otrzymuję coś takiego:

\(\displaystyle{ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) + d((x_2,y_2),(x_3,y_3)) \ge d((x_1,y_1),(x_3,y_3))}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace + \mathrm{max}\lbrace|x_3-x_2|, |y_3-y_2| \rbrace \ge \mathrm{max}\lbrace|x_3-x_1|, |y_3-y_1| \rbrace}\)

No i z tego momentu nie widzę jak to dalej rozpisać. Prosiłbym o wskazówkę.

Zupełnie ogólnie to mogę podpowiedzieć, że jak nie masz pomysłu na ładny dowód, to zawsze możesz zakasać rękawy i rozważyć wszystkie możliwe przypadki - czyli np. kiedy \(\displaystyle{ \mathrm{max}\lbrace|x_2-x_1|, |y_2-y_1| \rbrace = |x_2-x_2|}\) etc. Jak się uprzesz, to kiedyś wyjdzie.

W tym konkretnym przypadku możesz pokazać, że \(\displaystyle{ |x_3-x_1|}\) jest ograniczone z góry przez lewą stronę nierówności (wykorzystujesz do tego nierówność trójkąta dla \(\displaystyle{ | \cdot |}\)). Podobne ograniczenie jest też prawdziwe dla \(\displaystyle{ |y_3-y_1|}\), w konsekwencji również dla maksimum tych dwóch liczb.