Czy istnieje łuk?
-
- Użytkownik
- Posty: 2329
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 365 razy
Czy istnieje łuk?
Niech \(\displaystyle{ F\subset \RR^n}\) będzie domknięty, a \(\displaystyle{ U\subset \mathbb R^n}\) otwarty i spójny, przy czym \(\displaystyle{ F\cap U}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \RR^{n-1}}\). Ponadto \(\displaystyle{ x\in U\cap F}\) oraz \(\displaystyle{ y\in U\setminus F}\). Czy istnieje łuk o końcach \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) zawarty, poza punktem \(\displaystyle{ x}\), w zbiorze \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- wiek: 44
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy istnieje łuk?
Wskazówka: Rozważ lokalne otoczenie punktu \( x \) w \( U \), które jest homeomorficzne do \( \mathbb{R}^{n-1} \). Zauważ, że dzięki temu \( F \cap U \) dzieli przestrzeń \( U \) na dwie części, a \( U \setminus F \) jest otwarte i spójne. Skorzystaj z tej spójności oraz z faktu, że punkt \( y \) leży w \( U \setminus F \), aby skonstruować odpowiedni łuk łączący \( x \) i \( y \), który poza punktem \( x \) leży w \( U \setminus F \).
-
- Użytkownik
- Posty: 2329
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 365 razy
Re: Czy istnieje łuk?
Czy to ChatGPT napisał tę wskazówkę?
Przecież \(\displaystyle{ U}\) nie jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb R^{n-1}}\), tylko \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest.
\(\displaystyle{ U\setminus F}\) oczywiście nie jest spójny. Powinien mieć dwie składowe spójności (czego niestety nie umiem udowodnić).
No i brak żadnego argumentu, że ten łuk istnieje.
Przecież \(\displaystyle{ U}\) nie jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb R^{n-1}}\), tylko \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest.
\(\displaystyle{ U\setminus F}\) oczywiście nie jest spójny. Powinien mieć dwie składowe spójności (czego niestety nie umiem udowodnić).
No i brak żadnego argumentu, że ten łuk istnieje.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- wiek: 44
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy istnieje łuk?
Mój błąd - ludzkie niedopatrzenie. Wolę jednak nie opierać się na swoim doświadczeniu, które tu nie jest takie jakbym chciała. Zainteresował mnie po prostu ten temat. Może by ruszyć to zadanie z twierdzeniem Jordana-Brouwera? dotyczy ono co prawda ogólnego przypadku. W tę stronę bym szła. To moja wskazówka - od serduszka.
-
- Użytkownik
- Posty: 2329
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 365 razy
Re: Czy istnieje łuk?
Chodzi o twierdzenie Jordana o rozcinaniu płaszczyzny przez okrąg? Raczej szedłbym w kierunku twierdzeń o przedłużaniu homeomorfizmów, może jakieś uogólnienia twierdzenia Schoenfliesa na wyższe wymiary?
Potrafię pokazać, że taki łuk istnieje w szczególnym przypadku, gdy \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarową. Potrzebuję zatem, żeby dało się przedłużyć homeomorfizm \(\displaystyle{ f\colon U\cap F \rightarrow H}\) do zbioru \(\displaystyle{ U}\), gdzie \(\displaystyle{ H\subset \mathbb R^n}\) to hiperpłaszczyzna.
Potrafię pokazać, że taki łuk istnieje w szczególnym przypadku, gdy \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarową. Potrzebuję zatem, żeby dało się przedłużyć homeomorfizm \(\displaystyle{ f\colon U\cap F \rightarrow H}\) do zbioru \(\displaystyle{ U}\), gdzie \(\displaystyle{ H\subset \mathbb R^n}\) to hiperpłaszczyzna.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- wiek: 44
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy istnieje łuk?
A czy nie jest tak, że można to udowodnić, bazując na definicji spójności i niespójności w topologii. W przypadku niespójności zbioru \(\displaystyle{ U\setminus F}\) można zawsze znaleźć rozkład tego zbioru na dwa lub więcej składników spójnych, które są rozłączne i otwarte w przestrzeni \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?matmatmm pisze: 24 sty 2025, o 16:05 \(\displaystyle{ U\setminus F}\) oczywiście nie jest spójny. Powinien mieć dwie składowe spójności (czego niestety nie umiem udowodnić).
Sprawa się komplikuje gdy podzielisz \(\displaystyle{ U\setminus F}\) na składowe spójne a x oraz y leżą w dwóch różnych składowych. Tu jest problem chyba. Wydaje mi się, że narzędzia takie jak grupa fundamentalna oraz homotopia mogą być użyteczne w przypadku, gdy końce łuku leżą w różnych składowych spójnych niespójnej przestrzeni. Nie jestem pewna tego, może ktoś bardziej znający się na rzeczy wypowie się.
-
- Użytkownik
- Posty: 2329
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 365 razy
Re: Czy istnieje łuk?
No dobrze, ale jak to zrobić? Ja nie umiem.CarlaParadysz pisze: 25 sty 2025, o 21:15 A czy nie jest tak, że można to udowodnić, bazując na definicji spójności i niespójności w topologii. W przypadku niespójności zbioru \(\displaystyle{ U\setminus F}\) można zawsze znaleźć rozkład tego zbioru na dwa lub więcej składników spójnych, które są rozłączne i otwarte w przestrzeni \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?
Przecież \(\displaystyle{ x\notin U\setminus F}\).Sprawa się komplikuje gdy podzielisz \(\displaystyle{ U\setminus F}\) na składowe spójne a x oraz y leżą w dwóch różnych składowych.