Czy istnieje łuk?

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2329
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 365 razy

Czy istnieje łuk?

Post autor: matmatmm »

Niech \(\displaystyle{ F\subset \RR^n}\) będzie domknięty, a \(\displaystyle{ U\subset \mathbb R^n}\) otwarty i spójny, przy czym \(\displaystyle{ F\cap U}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \RR^{n-1}}\). Ponadto \(\displaystyle{ x\in U\cap F}\) oraz \(\displaystyle{ y\in U\setminus F}\). Czy istnieje łuk o końcach \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) zawarty, poza punktem \(\displaystyle{ x}\), w zbiorze \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?
CarlaParadysz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
Płeć: Kobieta
wiek: 44
Pomógł: 1 raz

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: CarlaParadysz »

Wskazówka: Rozważ lokalne otoczenie punktu \( x \) w \( U \), które jest homeomorficzne do \( \mathbb{R}^{n-1} \). Zauważ, że dzięki temu \( F \cap U \) dzieli przestrzeń \( U \) na dwie części, a \( U \setminus F \) jest otwarte i spójne. Skorzystaj z tej spójności oraz z faktu, że punkt \( y \) leży w \( U \setminus F \), aby skonstruować odpowiedni łuk łączący \( x \) i \( y \), który poza punktem \( x \) leży w \( U \setminus F \).
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2329
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 365 razy

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: matmatmm »

Czy to ChatGPT napisał tę wskazówkę?

Przecież \(\displaystyle{ U}\) nie jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb R^{n-1}}\), tylko \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest.

\(\displaystyle{ U\setminus F}\) oczywiście nie jest spójny. Powinien mieć dwie składowe spójności (czego niestety nie umiem udowodnić).

No i brak żadnego argumentu, że ten łuk istnieje.
CarlaParadysz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
Płeć: Kobieta
wiek: 44
Pomógł: 1 raz

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: CarlaParadysz »

Mój błąd - ludzkie niedopatrzenie. Wolę jednak nie opierać się na swoim doświadczeniu, które tu nie jest takie jakbym chciała. Zainteresował mnie po prostu ten temat. Może by ruszyć to zadanie z twierdzeniem Jordana-Brouwera? dotyczy ono co prawda ogólnego przypadku. W tę stronę bym szła. To moja wskazówka - od serduszka.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2329
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 365 razy

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: matmatmm »

Chodzi o twierdzenie Jordana o rozcinaniu płaszczyzny przez okrąg? Raczej szedłbym w kierunku twierdzeń o przedłużaniu homeomorfizmów, może jakieś uogólnienia twierdzenia Schoenfliesa na wyższe wymiary?

Potrafię pokazać, że taki łuk istnieje w szczególnym przypadku, gdy \(\displaystyle{ U\cap F}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarową. Potrzebuję zatem, żeby dało się przedłużyć homeomorfizm \(\displaystyle{ f\colon U\cap F \rightarrow H}\) do zbioru \(\displaystyle{ U}\), gdzie \(\displaystyle{ H\subset \mathbb R^n}\) to hiperpłaszczyzna.
CarlaParadysz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2025, o 20:49
Płeć: Kobieta
wiek: 44
Pomógł: 1 raz

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: CarlaParadysz »

matmatmm pisze: 24 sty 2025, o 16:05 \(\displaystyle{ U\setminus F}\) oczywiście nie jest spójny. Powinien mieć dwie składowe spójności (czego niestety nie umiem udowodnić).
A czy nie jest tak, że można to udowodnić, bazując na definicji spójności i niespójności w topologii. W przypadku niespójności zbioru \(\displaystyle{ U\setminus F}\) można zawsze znaleźć rozkład tego zbioru na dwa lub więcej składników spójnych, które są rozłączne i otwarte w przestrzeni \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?
matmatmm pisze: 24 sty 2025, o 16:05 No i brak żadnego argumentu, że ten łuk istnieje.
Sprawa się komplikuje gdy podzielisz \(\displaystyle{ U\setminus F}\) na składowe spójne a x oraz y leżą w dwóch różnych składowych. Tu jest problem chyba. Wydaje mi się, że narzędzia takie jak grupa fundamentalna oraz homotopia mogą być użyteczne w przypadku, gdy końce łuku leżą w różnych składowych spójnych niespójnej przestrzeni. Nie jestem pewna tego, może ktoś bardziej znający się na rzeczy wypowie się.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2329
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 365 razy

Re: Czy istnieje łuk?

Post autor: matmatmm »

CarlaParadysz pisze: 25 sty 2025, o 21:15 A czy nie jest tak, że można to udowodnić, bazując na definicji spójności i niespójności w topologii. W przypadku niespójności zbioru \(\displaystyle{ U\setminus F}\) można zawsze znaleźć rozkład tego zbioru na dwa lub więcej składników spójnych, które są rozłączne i otwarte w przestrzeni \(\displaystyle{ U\setminus F}\)?
No dobrze, ale jak to zrobić? Ja nie umiem.
Sprawa się komplikuje gdy podzielisz \(\displaystyle{ U\setminus F}\) na składowe spójne a x oraz y leżą w dwóch różnych składowych.
Przecież \(\displaystyle{ x\notin U\setminus F}\).
ODPOWIEDZ