Matematyka.pl

Bardzo proszę o wyjaśnienie.

Dlaczego rodzina kul otwartych o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{100} }\) jest bazą na płaszczyźnie z metryką euklidesową?

Weźmy rodzinę kul otwartych o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{100}}\) i załóżmy, że jest ona bazą, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\).
Z definicji biorę sobie dowolny \(\displaystyle{ x\in X}\) i dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\in U}\), wtedy powinien istnieć taki \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}}\), że \(\displaystyle{ x\in B \subset U}\), ale jeśli za \(\displaystyle{ U}\) wezmę kulę otwartą o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r= \frac{1}{1000}}\), to w ten zbiór nie wejdzie żadna kula o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{100}}\), więc takie \(\displaystyle{ B}\) nie istnieje.
Gdzieś popełniam błąd, ale gdzie?

Jesteś pewna, że chodzi o bazę a nie podbazę?
Bo jeśli o bazę, to masz rację

Tak, o podbazach jeszcze nie mówiliśmy. Może w takim razie źle zapisałam. Dopytam jeszcze dla pewności: jak w zadaniu wprowadzimy tylko zmianę taką, że bierzemy rodzinę kul otwartych o promieniu \(\displaystyle{ r>\frac{1}{100}}\), to tym bardziej ta rodzina nie jest bazą?

Zgadza się. W topologii ważne są małe kulki