Matematyka.pl

Jak mam rozumieć bazę otoczeń zwartych?
Próbuję się nauczyć czegoś o przestrzeniach lokalnie zwartych, ale jak na razie nie widzę, co to znaczy, że każdy punkt ma bazę otoczeń zwartych..
Czy dla \(\displaystyle{ x}\) baza otoczeń zwartych to rodzina zbiorów zwartych zawarta w filtrze otoczeń x i go rozpinająca? Czy może jest to rodzina zbiorów rozpinająca zbiór wszystkich zbiorów zwartych zawierających x i w nim zawarta? Troszkę się pogubiłem, proszę o pomoc

Zwrot baza otoczeń zwartych jest trochę nieścisła ponieważ zwykle przez otoczenie rozumie się otoczenie otwarte.

W tym wypadku jest to pewien skrót myślowy: powiemy, że przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest lokalnie zwarta, gdy każdy punkt ma taką bazę otoczeń otwartych \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ U\in \mathcal{B}}\) istnieje taki zwarty podzbiór \(\displaystyle{ K\subseteq X}\), że \(\displaystyle{ U\subseteq K}\)

Przykład: \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest lokalnie zwarte, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) rodzina

\(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(x-1/n, x+1/n)\colon n=1,2,\ldots\}}\)

jest bazą otoczeń mającą tę własność.

Podobnie, \(\displaystyle{ \omega_1}\) jest lokalnie zwarta, bo dla danego \(\displaystyle{ \alpha\in \omega_1}\) wystarczy rozważyć

\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ [\beta, \alpha +n]\colon n=1,2,3,\ldots,\beta<\alpha\}}\),

gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest graniczna niezerowa oraz \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ \{\alpha\} \}}\) w przeciwnym przypadku.

Dziękuję bardzo a co to jest \(\displaystyle{ w_1}\)?

Najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa z topologią porządkową.

fakt, dzięki