Matematyka.pl

Cześć, mam problem z tym zadaniem. Może ktoś mi pomóc i wytłumaczyć?

W zamkniętym zbiorniku zawierającym wodę, nad powierzchnią zwierciadła znajduje się gaz o ciśnieniu \(\displaystyle{ p_n=200 kN/m^{2}}\). Na stałej głębokości \(\displaystyle{ H =1m}\) pod zwierciadłem wody dołączono do zbiornika przewód o długości \(\displaystyle{ L =15m}\). Jaka jest średnica przewodu, jeśli strumień objętości wypływającej wody wynosi \(\displaystyle{ Q =7.36 dm^{3}/s}\) ?. Przyjąć współczynnik strat tarcia równy \(\displaystyle{ \lambda=0.0144}\). Straty lokalne oraz energię kinetyczną wylotową pominąć jako małe w stosunku do strat tarcia.

Tutaj trzeba skorzystać z równania Bernoulliego dla płynów rzeczywistych (lepkich):

\(\displaystyle{ \frac{v_{1}^{2}}{2g}+\frac{p_{1}}{\rho \cdot g}+z_{1}=\frac{v_{2}^{2}}{2g}+\frac{p_{2}}{\rho \cdot g}+z_{2}+h_{str}}\)

gdzie \(\displaystyle{ h_{str}}\) oznacza wysokość strat energii. Reszta oznaczeń myślę, że jest jasna.

W tym przypadku pomijamy straty lokalne, a więc zostają nam tylko straty tarcia opisywane przez równanie Darcy'ego-Weisbacha:

\(\displaystyle{ h_{str}=\lambda \cdot \frac{L}{d} \frac{v^{2}}{2g}}\)


P.S. Tak z ciekawości - z jakiej książki jest to zadanie ?

Straty energii należy pominąć, więc to raczej nie tak ma być. A co do książki to nie wiem, profesorek walnął "łatwymi" zadankami na święta I szczerze mówiąc to nie mam pojęcia jak to zrobić

W treści zadania jest tylko mowa o pominięciu strat lokalnych a przy tym podany jest współczynnik strat tarcia, więc raczej nie należy całkowicie pomijać strat energii.

powinna znać ten wzór:

\(\displaystyle{ h_{str} = \lambda \cdot \frac{Q^2}{d^5} \cdot L}\)

Skibiński J. Hydraulika. Wyd.IV PWN Warszawa 1969. Str.98

gdzie \(\displaystyle{ Q}\) oznacza objętość przepływu,
\(\displaystyle{ d}\) średnicę przewodu
\(\displaystyle{ \lambda}\) współczynnik oporu, zależny materiału, z jakiego przewód jest wykonany,

Powiem szczerze że od 2 miesięcy mam ten przedmiot i nie mam pojęcia co z tym wzorem zrobić. Mam obliczyć \(\displaystyle{ d}\). A w tym wzorze co podano są 2 niewiadome ( \(\displaystyle{ H_{str}}\) i \(\displaystyle{ d}\) ). Skąd wziąć lub jak policzyć to \(\displaystyle{ H}\) ?

Jeżeli:
"Straty lokalne oraz energię kinetyczną wylotową pominąć jako małe w stosunku do strat tarcia".
To \(\displaystyle{ h_{str} = H + p \ w \ metrach \ H_2 O}\)

A to p to skąd ? Sorki ale w ogóle nie robiliśmy zadań tego typu i nie mam zielonego pojęcia co skąd się bierze

nie czyta a prześmiewa nauczycieli,
Stąd się wzięło:
"W zamkniętym zbiorniku zawierającym wodę, nad powierzchnią zwierciadła znajduje się gaz o ciśnieniu \(\displaystyle{ p_n=200 kN/m^{2}}\)".

Treść tego zadania wraz z rysunkiem i wynikiem końcowym, który należy uzyskać (\(\displaystyle{ d=0,034 \ m}\)) można znaleźć na tej stronie: ... czywistych

Myślę, że warto by było przedstawić na forum rozwiązanie tego dosyć ciekawego zadanka.

W tym przypadku, biorąc pod uwagę to, że pomijamy straty energii i lokalne, równanie Bernoulliego będzie miało postać:

\(\displaystyle{ H+ \frac{p_{n}}{\rho g}=\lambda \frac{L}{d} \frac{v_{1}^{2}}{2g}}\)

Wiemy też, że:

\(\displaystyle{ Q=\frac{\pi d^{2}}{4} v_{1}}\)

a po przekształceniu:

\(\displaystyle{ v_{1}=\frac{4Q}{\pi d^{2}}}\)

Jak podstawimy to w miejsce \(\displaystyle{ v_{1}}\) w podanym wcześniej równaniu Bernoulliego to niewiadomą będzie tylko \(\displaystyle{ d}\) i powinno dać się je wyliczyć.

Niestety nie udało mi się uzyskać takiej wartości jaka powinna wyjść według wspomnianej strony internetowej (\(\displaystyle{ 0,034 \ m}\)). Jeśli ktoś wie z czego to wynika (błędu w wartościach na pewno nie popełniłem) to będę wdzięczny za odpowiedź. Może strona podaje zły wynik.

Dla odpowiedzi na pytanie potrzeba znać pełny przebieg rachunku. Zatem prośba o takowy. Oczywista bez skrótów, ale z podaniem wartości wielkości nie pozostawiając niczego w "domyślności" czytacza.

Proszę bardzo:

- dane:

\(\displaystyle{ H = 1 \ m}\)
\(\displaystyle{ p_{n}=200 \ kN/m^{2}=200000 \ Pa}\)
\(\displaystyle{ L=15 \ m}\)
\(\displaystyle{ Q=7,36 \ dm^{3}/s=0,00736 \ m^{3}/s}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0,0144}\)
gęstość nie jest podana w treści, więc przyjmuję \(\displaystyle{ \rho=1000 \ kg/m^{3}}\)

- szukane:

\(\displaystyle{ d = ?}\)

- rozwiązanie:

\(\displaystyle{ H+ \frac{p_{n}}{\rho g}=\lambda \frac{L}{d} \frac{v_{1}^{2}}{2g}}\)

\(\displaystyle{ v_{1}=\frac{4Q}{\pi d^{2}}}\)

po podstawieniu:

\(\displaystyle{ 1+\frac{200000}{1000 \cdot 9,81}=0,0144 \frac{15}{d} \frac{4 \cdot 0,00736}{\pi d^{2}}}\)

Żeby nie rozpisywać wszystkiego, rozwiązanie tego równania powierzyłem aplikacji Wolfram Alpha. Myślę, że można jej zaufać:



Wychodzi:

\(\displaystyle{ d=0,046 \ m}\)

Literówka. Coś uciekło.

Ok, już chyba wiem gdzie był błąd. Nie tylko zapomniałem o tym, że \(\displaystyle{ v_{1}}\) jest jeszcze do kwadratu w równaniu Bernoulliego, ale też nie podzieliłem przez \(\displaystyle{ 2g}\).

Powinno być:

\(\displaystyle{ 1+\frac{200000}{1000 \cdot 9,81}=0,0144 \cdot \frac{15}{d} \cdot \frac{(\frac{4 \cdot 0,00736}{\pi d^{2}})^{2}}{2g}}\)

I wtedy po wpisaniu do Wolframa:



wychodzi \(\displaystyle{ d=0,034 \ m}\)

Czyli dokładnie tyle, ile jest podane na stronie.


P.S. Dla zainteresowanych - trudniejszą wersję tego zadania można znaleźć w książce "Zbiór zadań z mechaniki płynów" Gołębiewskiego, gdzie są 3 niewiadome i trzeba stosować iteracje.

Proszę ją wstawić jeżeli można to zrobnić nie naruszając praw autorskich. Ćwiczenia zawsze są mile widziane.