Matematyka.pl

Mam problem ze zbiorami borelowskimi. Nie za bardzo wiem dlaczego rodzina
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]wyczerpuje wszystkie zbiory borelowskie. Bazując na książce Classical Descriptive Set Theory S. Kechris mamy następujące definicje:
Dla \(\displaystyle{ 1\leq \xi<\omega_1 }\) definiujemy
\[
\Sigma_1^0(X)-\text{zbiory otwarte}
\]
\[
\Pi_{\xi}^0(X)-\text{dopełnienia zbiorów z}\quad \Sigma_{\xi}^0(X)
\]Dla \(\displaystyle{ \xi>1}\)
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)=\left\{\bigcup_n A_n\colon A_n \in \Pi_{\xi_n}^0(X), \xi_n<\xi, n \in \mathbb N\right\}
\]Dalej definiujemy
\[
\Delta_{\xi}^0(X)=\Sigma_{\xi}^0(X)\cap \Pi_{\xi}^0(X)
\]Wówczas mamy
\[
\Sigma_{\xi}^0(X) \cup \Pi_{\xi}^0(X)\subset \Delta_{\xi+1}^0(X)
\]oraz
\[
\Sigma_{\xi+1}^0(X)=(\Pi_{\xi_n}^0(X))_\sigma.
\]Do tego momentu wszystko jasne. Dalej mamy
\[
B(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Pi_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Delta_{\xi}^0(X)
\]Pierwsza równość nie jest dla mnie jasna, pozostałe są zrozumiałe. Inkluzja
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X) \subset B(X)
\]musi zachodzić, gdyż \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje. Niejasna jest dla mnie inkluzja
\[
B(X)\subset \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]Jak rozumiem wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą, gdyż z definicji \(\displaystyle{ B(X)}\) jest to przekrój \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebr zawierających zbiory otwarte.

Np. co jeżeli wybierzemy \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma^0_{n}\setminus \Sigma^0_{n-1}}\), to wówczas dla jakiego indeksu \(\displaystyle{ \xi}\) mamy
\[
\bigcup_{n}A_n\in \Sigma^0_{\xi}
\]

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 16:18 Np. co jeżeli wybierzemy \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma^0_{n}\setminus \Sigma^0_{n-1}}\), to wówczas dla jakiego indeksu \(\displaystyle{ \xi}\) mamy
\[
\bigcup_{n}A_n\in \Sigma^0_{\xi}
\]

Dla \(\displaystyle{ \xi=\omega.}\)

Cały dowcip polega na tym, że konstrukcja ma długość \(\displaystyle{ \omega_1}\), a to jest regularna liczba kardynalna i każdy przeliczalny ciąg elementów \(\displaystyle{ \omega_1}\) (odpowiadających indeksom rodzin, z których bierzesz zbiory do sumy) jest ograniczony w \(\displaystyle{ \omega_1}\).

JK

Miałem przeczucie, że nie rozumiem sumowania
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X).
\]Mimo wszystko myślałem, że w gruncie rzeczy jest to suma po naturalnych. Z tego co widzę to chyba nie zwróciłem uwagi na "niewielką" różnicę między \(\displaystyle{ \omega, \omega_1.}\)

Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest nieco większa, niż myślałem.

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 17:08Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest nieco większa, niż myślałem.

"Nieco" to spore niedomówienie. Cała istota tej konstrukcji polega właśnie na jej długości - musi być nieprzeliczalna, żeby wynik był zamknięty na przeliczalne sumy (w taki sam sposób, jak konstrukcja nieskończona dawałaby zamkniętość na skończone sumy).

JK

Muszę porządnie nadrobić liczby porządkowe. A tak wyprzedzając fakty to z czego będzie wynikać ta zamkniętość na przeliczalne operacje? Czy jeżeli
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \(\displaystyle{ \xi_n<\omega_1}\) to wtedy istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \xi_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \xi_n<\xi_0}\) czy jeszcze o coś innego chodzi? Przyznam, że to nie moja działka i nigdy indukcja pozaskończona nie była mi potrzebna.

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 20:23 Muszę porządnie nadrobić liczby porządkowe. A tak wyprzedzając fakty to z czego będzie wynikać ta zamkniętość na przeliczalne operacje? Czy jeżeli
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \(\displaystyle{ \xi_n<\omega_1}\) to wtedy istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \xi_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \xi_n<\xi_0}\)

Dokładnie tak. I wtedy masz \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), bo te rodziny tworzą wstępujący ciąg zbiorów.

JK

W sumie to pewnie nie jest aż tak potrzebne ale wystarczy żeby \(\displaystyle{ \xi_n \leq \xi_0}\) i wtedy może wystarczy \(\displaystyle{ \xi_0=\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}}\)- przeliczalny zbiór liczb porządkowych. Wtedy mielibyśmy
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0+2}^0(X)
\]

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16 W sumie to pewnie nie jest aż tak potrzebne ale wystarczy żeby \(\displaystyle{ \xi_n \leq \xi_0}\)

Wystarczy. Ale to zupełnie bez różnicy.

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16i wtedy może wystarczy \(\displaystyle{ \xi_0=\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}}\)- przeliczalny zbiór liczb porządkowych.

Przeliczalny zbiór liczb porządkowych niekoniecznie jest liczbą porządkową, więc ten zapis nie bardzo ma sens. Ale może być \(\displaystyle{ \xi_0=\sup\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}.}\)

1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16Wtedy mielibyśmy
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0+2}^0(X)
\]

Prościej jest stwierdzić, że skoro \(\displaystyle{ (\forall n\in\NN)A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\), bo przeliczalna suma przeliczalnych sum jest przeliczalną sumą.

JK

Ano tak
\[
\xi_0=\bigcup \{\xi_n\colon n \in \mathbb N\}=\xi_1\cup \xi_2\cup \xi_3\cup ...
\]tj. suma mnogościowa zbiorów \(\displaystyle{ \xi_n}\).

Zgadza się.

JK

Tak jeszcze dla uściślenia. Jeżeli dobrze zrozumiałem to napisałeś, że rodzina
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)
\]tworzy wstępujący ciąg zbiorów tzn. dla \(\displaystyle{ \xi<\xi' }\) mamy \(\displaystyle{ \Sigma_{\xi}^0(X)\subset \Sigma_{\xi'}^0(X)}\)? Tego nie jestem pewien. Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) gdzie
\(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \tau=\{\emptyset, X, \{0\}\}}\) mamy
\[
\Sigma_{1}^0(X)=\tau, \quad \Pi_{1}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}
\]
\[
\Sigma_{2}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}\quad \Pi_{2}^0(X)=\tau
\]Chociaż może być tak, że jest to prawda począwszy od "pewnego indeksu", jeżeli to ma sens dla liczb porządkowych. Ale raczej skłaniam się ku temu, że jest to rodzina wstępująca dla przestrzeni z aksjomatem T6, jeżeli dobrze pamiętam. W każdym razie, gdy zbiór domknięty jest przeliczalnym przekrojem zbiorów otwartych.

Jak ja myślę o zbiorach borelowskich, to w dość regularnych przestrzeniach (np. polskich), stąd ta uwaga.

JK