??? Treść, wskazówki (w tym moim zdaniem potrzebne definicje i twierdzenia, ale jeśli powinno ich być więcej, to nie krępujcie się o tym mówić) i mój fragment rozwiązania są poniżej, dokładnie w tej kolejności. Prowadzący powiedział jeszcze, żeby przyjrzeć się dowodowi stwierdzenia 13 i pokombinować coś z dopełnieniem czyli B' pamiętając o tym, że miara jest ściśle dodatnia. Stwierdził również, że jeśli uznam, że informacji jest za mało, to mam przeanalizować notatki dotyczące teorii miary na Krych mimuw i przejrzeć mst mimuw (specjalnie nie podaję pełnych nazw URL, ponieważ nie wiem czy jest to zgodne z Regulaminem; ja tylko proszę o nakierowanie na rozwiązanie zadania, więc to może być przydatne a może nie być). Niestety po przejrzeniu nawet tych stron dalej nie wiem jak to zrobić... To znaczy - wiem czego trzeba użyć, ale problem ze sformułowaniem tego w taki sposób, aby to miało sens, więc byłbym wdzięczny nawet za schemat ze strzałkami (najlepiej z potrzebnymi założeniami) w postaci "mam coś, potem z tego czegoś wynikło coś kolejnego, z tego czegoś co wynikło z tego poprzedniego wynikło coś kolejnego itd." (A ⇒ B ⇒ C itd. aż dojdziemy do końca rozumowania w jedną a potem drugą stronę).Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Zbadać, czy następujące warunki są równoważne:
(i) \(\displaystyle{ \mu \ ({x \in X: f(x) < 0}) = 0}\),
(ii) \(\displaystyle{ \forall(A \in \mathcal{F}) \int_{X - A} fd\mu \ge 0}\).
Def. 1. \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} = [- \infty, + \infty] = (- \infty, + \infty) \cup \{- \infty, + \infty\} = \overline{\mathbb{R}} \cup \{- \infty, + \infty\}}\)
Def. 2. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F})}\) będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję \(\displaystyle{ \mu: \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) nazywamy miarą na przestrzeni mierzalnej \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}),}\) jeżeli
(i) \(\displaystyle{ \mu (\emptyset) = 0}\),
(ii) \(\displaystyle{ \forall(A_1, \ A_2, \ A_3, \ ... \in \mathcal{F}}\) parami rozłączne) \(\displaystyle{ \mu ( \bigcup_{n=1}^{+ \infty} A_n) = \sum_{n=1}^{+ \infty} \mu (A_n).}\)
Trójkę \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) nazywamy przestrzenią z miarą.
Def. 3. \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}}_+ = [0, + \infty] = [0, + \infty) \cup \{+ \infty\}.}\)
Def. 4. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem. Rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X)}\) to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), będziemy nazywali \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), jeżeli
(i) \(\displaystyle{ \emptyset \in \mathcal{F}}\),
(ii) \(\displaystyle{ \forall(A \in \mathcal{F})(X - A \in \mathcal{F})}\),
(iii) \(\displaystyle{ \forall(A_1, \ A_2, \ A_3, \ ... \in \mathcal{F} ) \bigcup_{n=1}^{+ \infty} A_n \in \mathcal{F}}\).
Parę \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F})}\) będziemy nazywali przestrzenią mierzalną.
Def. 5. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F})}\) będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}}\) będziemy nazywali funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną, jeżeli
\(\displaystyle{ \forall(a \in \overline{\mathbb{R}})(f^{-1} [(a, + \infty)] = \{x \in X: a < f(x) \le + \infty \} \in \mathcal{F}).}\)
Def. 6. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F})}\) będzie przestrzenią mierzalną i niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Skończoną rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, \ ..., \ P_n \} \subseteq \mathcal{F}}\) będziemy nazywali \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalnym rozbiciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), jeżeli zbiory \(\displaystyle{ P_1, \ ..., \ P_n}\) są parami rozłączne oraz \(\displaystyle{ A = P_1 \cup ... \cup P_n}\). Rodzinę wszystkich \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalnych rozbić zbioru \(\displaystyle{ A}\) będziemy oznaczać przez \(\displaystyle{ \mathcal{P} (\mathcal{F}, \ A).}\)
Def. 7. Liczbę \(\displaystyle{ x \in \overline{\mathbb{R}}}\) nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \overline{\mathbb{R}}}\), jeśli dla każdego elementu \(\displaystyle{ a \in A}\) mamy \(\displaystyle{ a \ge x}\). Zbiór, dla którego istnieje ograniczenie dolne, będziemy nazywać ograniczeniem z dołu. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ x \in A}\), to będziemy go nazywać elementem najmniejszym w zbiorze. Największe ograniczenie dolne zbioru \(\displaystyle{ A}\) (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym (infimum) zbioru \(\displaystyle{ A}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ \inf A.}\)
Def. 8. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną i niech \(\displaystyle{ \mathcal{P} \in \mathcal{P} (\mathcal{F}, A)}\). Wielkość
\(\displaystyle{ s(f, A, \mu, \mathcal{P}) := \sum_{i=1}^{n} [(inf \ f(x)) \cdot \mu(P_i)],}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, \ ..., \ P_n\}}\) nazywamy sumą dolną z funkcji \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) względem miary \(\displaystyle{ \mu}\) przy rozbiciu \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\).
Def. 9. Liczbę \(\displaystyle{ x \in \overline{\mathbb{R}}}\) nazywamy ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \overline{\mathbb{R}}}\), jeśli dla każdego elementu \(\displaystyle{ a \in A}\) mamy \(\displaystyle{ a \le x}\). Zbiór, dla którego istnieje ograniczenie górne, będziemy nazywać ograniczeniem z góry. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ x \in A}\), to będziemy go nazywać elementem największym w zbiorze \(\displaystyle{ A}\). Najmniejsze ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ A}\) (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym (supremum) zbioru \(\displaystyle{ A}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ \sup A.}\)
Def. 10. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Niech \(\displaystyle{ a \in \mathcal{F}}\). Wielkość
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu := \sup_{\mathcal{P} \in \mathcal{P}(\mathcal{F}, A)} \ s(f, A, \mu, \mathcal{P})}\) będziemy nazywali całką z funkcji \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) względem miary \(\displaystyle{ \mu}\).
Stw. 11. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\) będzie takim zbiorem, że \(\displaystyle{ \mu(A) = 0}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu = 0.}\)
Stw. 12. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Niech \(\displaystyle{ A, B \in \mathcal{F}}\) będą zbiorami rozłącznymi. Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A \cup B} fd\mu = \int_{A} fd\mu + \int_{B} fd\mu.}\)
Stw. 13. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie taką funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną, że zbiór
\(\displaystyle{ B := \{x \in A: f(x) > 0\}}\)
ma ściśle dodatnią miarę. Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \overline{\mathbb{N}}}\) niech
\(\displaystyle{ B_n := \{x \in A: f(x) > \frac{1}{n}\}}\).
Wówczas istnieje \(\displaystyle{ N \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że
\(\displaystyle{ \mu (B_N) > 0}\).
DOWÓD
Oczywiście, zbiory \(\displaystyle{ B, B_1, B_2, B_3, ... \in \mathcal{F}}\).
Na mocy Stwierdzenia o treści:
mamy, żeNiech X będzie zbiorem i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}}\).
Niech \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ B := \{ x \in A: f(x) > 0 \}}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \overline{\mathbb{N}}}\) niech
\(\displaystyle{ B_n := \{ x \in A: f(x) > \frac{1}{n} \}}\).
Wówczas
(i) ciąg \(\displaystyle{ (B_n)_{n=1}^{+ \infty}}\) jest wstępującym ciągiem zbiorów,
(ii) \(\displaystyle{ B = \bigcup_{n=1}^{+ \infty} B_n.}\)
\(\displaystyle{ B = \bigcup_{n=1}^{+ \infty} B_n.}\)
Załóżmy, że nie jest prawdą, że istnieje \(\displaystyle{ N \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ \mu(B_N) > 0}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n \in \overline{\mathbb{N}}}\) mamy, że \(\displaystyle{ \mu(B_n) = 0}\). Skoro \(\displaystyle{ \mu(B) > 0}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in \overline{\mathbb{N}}}\) mamy, że \(\displaystyle{ \mu(B_n)=0}\),
więc na mocy twierdzenia o podaddytywności miary mamy, że
\(\displaystyle{ 0 < \mu(B) = \mu( \bigcup_{n=1}^{+ \infty} B_n) \le \sum_{n=1}^{+ \infty} \mu(B_n) = \sum_{n=1}^{+ \infty} 0 = 0.}\)
W szczególności, mamy, że \(\displaystyle{ 0 < 0}\), co jest sprzecznością. Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem, rzeczywiście, istnieje \(\displaystyle{ N \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ \mu(B_N) > 0}\). To kończy dowód.
Stw. 14. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie taką funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną, że zbiór
\(\displaystyle{ B := \{ x \in A: f(x) > 0 \}}\)
ma ściśle dodatnią miarę. Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu > 0}\).
Stw. 15. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Niech \(\displaystyle{ f, g: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będą takimi funkcjami \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalnymi, że \(\displaystyle{ f \le g}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu \le \int_{A} gd\mu}\).
Stw. 16. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Niech \(\displaystyle{ A, B \in \mathcal{F}}\) będą takimi zbiorami, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu \le \int_{B} fd\mu.}\)
Stw. 17. Niech \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą. Niech \(\displaystyle{ a \in \overline{\mathbb{R}}_+}\) i \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} ad\mu = a \cdot \mu(A).}\)
WSKAZÓWKI DO ZADANIA
1a. Wykazać, że \(\displaystyle{ \{ x \in X: f(x) > 0\} = \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to rodzina zbiorów.
(\(\displaystyle{ \subseteq}\)) Zakładamy, że \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > 0 \}.}\)
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ x_0 \in \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > 0 \}}\), więc z def. zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f(x_0) > 0}\), czyli istnieje \(\displaystyle{ n_0 \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_0) > \frac{1}{n_0}.}\)
Zatem \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n_0} \} \subseteq \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\)
Pokazaliśmy, że
\(\displaystyle{ \{ x \in X: f(x) > 0 \} \subseteq \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\)
1b. Wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \} = \{ x \in X: f(x) > 0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to rodzina zbiorów.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ x_0 \in \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\)
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > 0\}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_0 \in \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}}\), więc istnieje \(\displaystyle{ n_0 \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n_0} \}}\) i dalej \(\displaystyle{ f(x_0) > \frac{1}{n_0} > 0.}\)
Otrzymaliśmy zatem, że \(\displaystyle{ f(x_0) > 0}\) i stąd \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > 0 \}.}\)
Pokazaliśmy, że
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \} \subseteq \{ x \in X: f(x) > 0\}.}\)
Skoro udowodniliśmy zawieranie w obie strony, to równość jest prawdziwa.
ALBO
Oznaczmy lewą stronę z 1a przez \(\displaystyle{ A}\) i prawą przez \(\displaystyle{ B}\).
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A = B.}\)
a) \(\displaystyle{ A \subset B}\):
Niech \(\displaystyle{ x_0 \in A}\) będzie dowolne, ale ustalone.
Wówczas \(\displaystyle{ f(x_0) > 0.}\) Weźmy dostatecznie dużą liczbę \(\displaystyle{ n_0 \in \overline{\mathbb{N}}}\) taką, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n_0} < \frac{1}{2} \cdot f(x_0).}\) Wystarczy wziąć liczbę \(\displaystyle{ n_0 > \frac{2}{f(x)}.}\) Wówczas \(\displaystyle{ f(x_0) > \frac{1}{2} \cdot f(x_0) > \frac{1}{n_0}}\) i dalej \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n_0} \}}\), ale \(\displaystyle{ \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n_0} \} \subset B.}\)
Zatem \(\displaystyle{ x_0 \in B.}\) Pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ A \subset B.}\)
b) \(\displaystyle{ B \subset A}\):
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_0 \in B = \bigcup_{n=1}^{+ \infty} \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\)
Skoro \(\displaystyle{ x_0}\) należy do sumy zbiorów, to musi należeć do co najmniej jednego z nich. Zatem istnieje \(\displaystyle{ n_0 \in \overline{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_0 \in \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n_0} \}}\), ale \(\displaystyle{ \frac{1}{n_0} > 0}\), więc \(\displaystyle{ f(x_0) > \frac{1}{n_0} > 0.}\)
Pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ x_0 \in A }\) i dalej \(\displaystyle{ B \subset A.}\)
Skoro udowodniliśmy zawieranie w obie strony, to równość jest prawdziwa.
2. Niech \(\displaystyle{ A_n := \{ x \in X: f(x) > \frac{1}{n} \}.}\) Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mu(A_n) > 0}\), to \(\displaystyle{ \int_{A_n} fd\mu > 0.}\)
Zauważmy, że musi zachodzić następujący fakt:
Niech \(\displaystyle{ f, g}\) będą funkcjami na przestrzeni z miarą \(\displaystyle{ (X, \mathcal{F}, \mu)}\) takimi, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) mamy, że \(\displaystyle{ 0 \le g(x) \le f(x).}\)
Ponadto niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}.}\) Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{A} gd\mu \le \int_{A} fd\mu.}\)
Weźmy \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{n}.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \int_{A_n} fd\mu \ge \int_{A_n} \frac{1}{n} d\mu = \frac{\mu(A_n)}{n} > 0.}\)
ALBO
Skorzystamy z własności monotoniczności całki, to jest jeśli \(\displaystyle{ f \ge g}\) na zbiorze mierzalnym \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ f, g}\) są całkowalne, to
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu \ge \int_{A} gd\mu.}\)
Niech \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ x \in A_n.}\) Jest to funkcja całkowalna na zbiorze \(\displaystyle{ A_n}\) względem miary \(\displaystyle{ \mu.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \int_{A_n} fd\mu \ge \int_{A_n} gd\mu = \int_{A_n} \frac{1}{n} d\mu = \frac{1}{n} \int_{A_n} d\mu = \frac{1}{n} \cdot \mu(A_n) > 0}\),
ponieważ z założenia \(\displaystyle{ \mu(A_n) > 0.}\)
Pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ \int_{A_n} fd\mu > 0.}\)
ROZWIĄZANIE
Czy (i) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) (ii) jest prawdziwe?
Zakładamy, że
\(\displaystyle{ \mu (\{ x \in X: f(x) < 0 \}) = 0.}\)
Czy dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\) zachodzi, że całka z funkcji \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X - A}\) względem miary \(\displaystyle{ \mu}\) jest większa lub równa \(\displaystyle{ 0}\)?
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ A = \{ x \in X: f(x) < 0\}}\)
jest zbiorem miary zero, więc
\(\displaystyle{ \int_{A} fd\mu = 0}\)
na mocy stwierdzenia 11.
PS. Szczerze powiedziawszy, to w tym roku mam pisać pracę licencjacką a w ogóle nas go nie nauczyli na uczelnianych zajęciach - ani pod pracę licencjacką, ani wcale xD Stąd też mam przy okazji pytanie czy polecacie jakieś książki (najlepiej pdf, ale w miarę tanie papierowe też przejdą), kanały na Youtube, strony internetowe itp., które znacznie by ułatwiły pisanie w LaTeXu, ponieważ nawet mój Promotor bardzo nie lubi w nim pracy, więc raczej mi nie pomoże a na mojej Alma Mater jest wymóg pisania pracy licencjackiej w tym języku. Wiem, że jest osobne forum jemu poświęcone, ale chodzi mi o takie najlepsze z najlepszych, w miarę proste, najlepiej pod pracę dyplomową (głównie po to, aby skupić się na treści pracy licencjackiej, bo nie zapominajmy, że to one są w niej najważniejsze a nie znajomość komend). Z tabelami i równaniami raczej nie powinienem mieć problemu, ponieważ podano nam edytory, ale problemem jest to, że ja np. nie znam dosyć sporej ilości oznaczeń matematycznych a wklejanie obrazków... Z grubsza wiem jak to się robi, ale np. nie wiem jak się wyrównuje do środka, do lewej, do prawej itd.
