Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem niepustym , \(\displaystyle{ \mathcal{A} \in 2^x}\), a \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją z \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ [0,+ \infty ]}\). Wówczas z pomocą f możemy określić funkcję \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\):
\(\displaystyle{ \mu (A) = \sum_{x \in A} f(x)}\), \(\displaystyle{ A \in \mathcal{A}}\),
przy czym
\(\displaystyle{ \sum_{x \in A} f(x):=sup\left\{ \sum_{x \in F} f(x):F \subset A, F \ \hbox{jest skończony}\right\}}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą.

Wiem, że \(\displaystyle{ \mu(A)=\mu(\bigcup_{k=1}^{ \infty }A_k)= \sum_{k=1}^{ \infty } \mu(A_k)}\)
Mogę to więc zapisać jako
\(\displaystyle{ \mu(A)= \sum \sum f(x)_k}\)
Tylko nie wiem jak mam to indeksować i do czego mam dążyć.

Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ \mu(\bigcup_{k=1}^{ \infty }A_k)= \sum_{k=1}^{ \infty } \mu(A_k)}\), to w czym jest problem? To jest przecież główny problem w tym zadaniu.

Może chodzi o to, że wiesz, że to właśnie trzeba udowodnić?

Pokażę w sposób może nie najszybszy, ale bez wykorzystywania żadnych specjalnych twierdzeń (elementarnie).

Zakładamy, że zbiory \(\displaystyle{ A_k}\) są rozłączne. Oznaczamy ich sumę przez \(\displaystyle{ A}\).

Niech \(\displaystyle{ L=\mu(\bigcup_{k=1}^{ \infty }A_k)}\), \(\displaystyle{ P=\sum_{k=1}^{ \infty } \mu(A_k)}\).

Jeśli \(\displaystyle{ \mu(A_k)=\infty}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), to pożądana równość jest spełniona (\(\displaystyle{ L=\infty,\ P=\infty}\)). Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ \mu(A_k)<\infty}\).

a) Rozważmy dowolny zbiór skończony \(\displaystyle{ F\subset A}\). Wtedy \(\displaystyle{ F=F_1\cup F_2\cup\cdots\cup F_N}\), gdzie \(\displaystyle{ F_i\subset A_{n_i}}\). Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{x\in F}f(x)=\sum_{i=1}^N\sum_{x\in F_i}f(x)\leq \sum_{i=1}^N\mu(A_{n_i})\leq P}\).
Biorąc supremum po wszystkich skończonych \(\displaystyle{ F\subset A}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ L\leq P}\).

b) Rozważmy teraz dowolne \(\displaystyle{ 0<K<P}\). Zatem \(\displaystyle{ K_0:=\sum_{k=1}^M\mu(A_k)>K}\) dla pewnego \(\displaystyle{ M\in\NN}\). Niech \(\displaystyle{ \eta=\frac{K_0-K}M}\).

Istnieją zbiory skończone \(\displaystyle{ F_i\subset A_i}\), takie że \(\displaystyle{ \sum_{x\in F_i}f(x)>\mu(A_i)-\eta}\). Niech \(\displaystyle{ F=\bigcup_{i=1}^MF_i}\).

Wtedy
\(\displaystyle{ L=\mu(A)\geq\sum_{x\in F}f(x) = \sum_{i=1}^M\sum_{x\in F_i}f(x)> \sum_{i=1}^M
(\mu(A_i)-\eta) = \sum_{i=1}^M \mu(A_i)-M\eta =\sum_{i=1}^M \mu(A_i)-(K_0-K)=K_0-(K_0-K)=K.}\)

Z dowolności \(\displaystyle{ K<P}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ L\geq P}\).

Może chodzi o to, że wiesz, że to właśnie trzeba udowodnić?

Dokładnie

Biorąc supremum po wszystkich skończonych \(\displaystyle{ F\subset A}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ L\leq P}\).

Dlaczego?

b) Rozważmy teraz dowolne \(\displaystyle{ 0<K<P}\). Zatem \(\displaystyle{ K_0:=\sum_{k=1}^M\mu(A_k)>K}\) dla pewnego \(\displaystyle{ M\in\NN}\). Niech \(\displaystyle{ \eta=\frac{K_0-K}M}\).

Istnieją zbiory skończone \(\displaystyle{ F_i\subset A_i}\), takie że \(\displaystyle{ \sum_{x\in F_i}f(x)>\mu(A_i)-\eta}\). Niech \(\displaystyle{ F=\bigcup_{i=1}^MF_i}\).

Dlaczego tak? Skąd taka \(\displaystyle{ \eta ?}\)

I) Bo L jest zdefiniowane jako supremum z pewnych sum po takich \(\displaystyle{ F}\), a każda taka suma jest mniejsza niż \(\displaystyle{ P}\) (definicja supremum - jest to NAJMNIEJSZE ograniczenie górne, a \(\displaystyle{ P}\) jest ograniczeniem górnym).

II) Pomysł jest taki - weźmy dowolne \(\displaystyle{ K<P}\) i pokażemy, że \(\displaystyle{ L>K}\). Z tego wyniknie, że \(\displaystyle{ L\geq P}\), bo gdyby \(\displaystyle{ L<P}\), to za \(\displaystyle{ K}\) można by wziąć \(\displaystyle{ L}\).

Najpierw korzystamy z definicji granicy szeregu (który dodatkowo jest o wyrazach nieujemnych). Skoro suma szeregu jest większa od \(\displaystyle{ K}\), to pewna skończona suma jest również większa od \(\displaystyle{ K}\). Teraz należy dobrać takie zbiory skończone \(\displaystyle{ F_k}\), aby suma wartości \(\displaystyle{ f(x)}\) po tych zbiorach wynosiła prawie (możliwie blisko) \(\displaystyle{ \mu(A_k)}\) (możliwość znalezienia takiego zbioru wynika z definicji supremum). A dobór takiej ety wynika z tego, jak ją później wykorzystuję (tam, gdzie jest \(\displaystyle{ M\eta=K_0-K}\)).