Wahanie funkcji na przedziale nieograniczonym
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Wahanie funkcji na przedziale nieograniczonym
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ V_{a}^{b} f}\) wahanie funkcji na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ V_{a}^{+\infty} f = \sup_{A>a} V_{a}^{A} f }\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \sup_{A>a} V_{a}^{A} f = \lim_{A\to +\infty} V_{a}^{A}}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4078
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wahanie funkcji na przedziale nieograniczonym
Moim zdaniem to wynika z ogólnej obserwacji, że dla dowolnej niemalejącej funkcji \(\displaystyle{ g:[a,\infty)\to\RR}\) mamy równość
Po pierwsze fakt wynika z obserwacji, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) może być ograniczona lub nie. Jeśli jest ograniczona to granica istnieje jako granica monotonicznej funkcji ograniczonej. Ponadto granica jest równa \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))}\) (niezależnie od \(\displaystyle{ a}\)) bo dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje z definicji supremum \(\displaystyle{ x'>a}\) taki, że
Więc dla wszystkich \(\displaystyle{ x\ge x'}\) tym bardziej mamy \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty)) - \epsilon \le g(x)\le \sup g([a,\infty))}\). A jeśli \(\displaystyle{ g}\) nie jest ograniczona to \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))=\infty}\) jednak funkcja nie może osiągać dowolnie dużych wartości (zaświadczających o nieskończonym supremum) wcześnie w dziedzinie. To znaczy nie ma tu sytuacji takiej, że \(\displaystyle{ \sup g([a,b])=\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \sup g([b,\infty))<\infty}\) dla żadnego \(\displaystyle{ b}\). Wszak z monotoniczności mamy, że \(\displaystyle{ \sup g([a,b])\le g(b)}\). Podsumowując, jeśli \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))=\infty}\) to dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) znów z definicji supremum istnieje \(\displaystyle{ x'}\) taki, że \(\displaystyle{ M\le g(x')}\), a z monotoniczności wynika, że dla \(\displaystyle{ x>x'}\) nierówność się nie zmieni. Zatem \(\displaystyle{ \lim g =\infty}\).
Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ V_a^{\cdot}f : [a,\infty)\to \RR}\) jest taką funkcją 'g'. Wszak \(\displaystyle{ V_a^{\cdot}f }\) jest monotoniczną funkcją przedziału. Nawet ogólniej. Wahanie jest addytywną funkcją przedziału to znaczy, że
A zatem im większy górny indeks tym wahanie niemniejsze. Wahanie może się tylko powiększyć wraz ze wrzosem górnego indeksu.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} g(x) = \sup\{g(x): x\ge a\}.}\)
Po pierwsze fakt wynika z obserwacji, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) może być ograniczona lub nie. Jeśli jest ograniczona to granica istnieje jako granica monotonicznej funkcji ograniczonej. Ponadto granica jest równa \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))}\) (niezależnie od \(\displaystyle{ a}\)) bo dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje z definicji supremum \(\displaystyle{ x'>a}\) taki, że
\(\displaystyle{ \sup g([a,\infty)) - \epsilon \le g(x')\le \sup g([a,\infty))}\)
Więc dla wszystkich \(\displaystyle{ x\ge x'}\) tym bardziej mamy \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty)) - \epsilon \le g(x)\le \sup g([a,\infty))}\). A jeśli \(\displaystyle{ g}\) nie jest ograniczona to \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))=\infty}\) jednak funkcja nie może osiągać dowolnie dużych wartości (zaświadczających o nieskończonym supremum) wcześnie w dziedzinie. To znaczy nie ma tu sytuacji takiej, że \(\displaystyle{ \sup g([a,b])=\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \sup g([b,\infty))<\infty}\) dla żadnego \(\displaystyle{ b}\). Wszak z monotoniczności mamy, że \(\displaystyle{ \sup g([a,b])\le g(b)}\). Podsumowując, jeśli \(\displaystyle{ \sup g([a,\infty))=\infty}\) to dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) znów z definicji supremum istnieje \(\displaystyle{ x'}\) taki, że \(\displaystyle{ M\le g(x')}\), a z monotoniczności wynika, że dla \(\displaystyle{ x>x'}\) nierówność się nie zmieni. Zatem \(\displaystyle{ \lim g =\infty}\).
Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ V_a^{\cdot}f : [a,\infty)\to \RR}\) jest taką funkcją 'g'. Wszak \(\displaystyle{ V_a^{\cdot}f }\) jest monotoniczną funkcją przedziału. Nawet ogólniej. Wahanie jest addytywną funkcją przedziału to znaczy, że
\(\displaystyle{ V_a^{c}f= V_a^{b}f + V_b^{c}f. }\)
A zatem im większy górny indeks tym wahanie niemniejsze. Wahanie może się tylko powiększyć wraz ze wrzosem górnego indeksu.