Matematyka.pl

Niech zbiór \(\displaystyle{ E\subset \RR^{n}}\) będzie mierzalny w sensie Lebesgue'a i niech funkcja \(\displaystyle{ f:E \rightarrow \RR\cup\{-\infty,+\infty\}}\) będzie \(\displaystyle{ \lambda}\)-prawie wszędzie skończona w zbiorze \(\displaystyle{ E}\). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \lambda}\) mierzalna w \(\displaystyle{ E \Leftrightarrow }\) dla każdej liczby \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F \subset E}\) taki, że \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus F)<\epsilon}\) i \(\displaystyle{ f|F}\) jest ciągła. (Łuzin)

W dowodzie dostateczności wskazuje się, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F_{k} \subset E}\) taki, że funkcja \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) jest ciągłą i \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus F_{k})<\frac{1}{k}}\). Wprowadza się też \(\displaystyle{ E_{m}:= \bigcup_{k=1}^{m} F_{k}}\). W pewnym momencie pojawia się stwierdzenie, że z ciągłości \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) wynika, że zbiory \(\displaystyle{ \{x\in F_{k}: f(x)\leqslant a\}}\), \(\displaystyle{ a\in \RR}\) są domknięte.
Tego nie rozumiem. Przeciwobraz zbioru domkniętego ma być domknięty. Ale domyślam się, że tu nie chodzi po prostu o przeciwobraz przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;a]}\), a o przeciwobraz części wspólnej tego przedziału i zbioru \(\displaystyle{ f(F_{k})}\), a ten ostatni zbiór nie musi być domknięty i wobec tego cześć wspólna tego zbioru i przedziału nie musi być domknięta.

Dalej wprowadzony jest zbiór \(\displaystyle{ E_{0}:= \bigcup_{k=1}^{\infty}F_{k} }\), by pokazać, że \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalna w \(\displaystyle{ E_{0}}\) i \(\displaystyle{ \lambda (E \setminus E_{0})=0}\). Po czym następuje niezrozumiałe dla mnie stwierdzenie, jakoby z równości \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus E_{0})=0}\) i zupełności miary \(\displaystyle{ \lambda}\) wynika \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalność \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ E}\).
Mam takie przypuszczenie: Zupełność miary oznacza, że każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ E \setminus E_{0}}\) jest mierzalny i wobec tego dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \{x\in E: f(x)<a\}}\), dla \(\displaystyle{ a\in R}\) albo będzie zawarty w \(\displaystyle{ (E \setminus E_{0})}\) albo w \(\displaystyle{ E_{0}}\) albo w jednym i w drugim.
W drugim przypadku podzbiór ten jest mierzalny, bo \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest mierzalna, w pierwszym przypadku bo miara jest zupełna, a w trzecim, bo suma mierzalnych zbiorów jest mierzalna? Czy tak to należy rozumieć?

Jak najbardziej Twoje rozumowanie jest poprawne.

Twierdzenie N. Łuzina jest szczególnym przypadkiem Twierdzenia D. Jegorowa dla \(\displaystyle{ X = E^{k} }\) i \(\displaystyle{ \mu = \lambda_{k}. }\)

Dzięki za odpowiedź. A mógłbyś jeszcze odnieść się do pierwszej niejasności dotyczącej ciągłości funkcji ograniczonej do zbioru?

Z ogólnego twierdzenia charakteryzującego zbiory mierzalne w sensie Lebesque'a, wynika, że
dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0 }\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F \subset \RR^{n} }\) , taki, że \(\displaystyle{ F \subset A }\) i \(\displaystyle{ λ_{n}(A \setminus F) < \varepsilon.}\)

pasjonat_matematyki pisze: ↑12 lip 2023, o 13:36Tego nie rozumiem. Przeciwobraz zbioru domkniętego ma być domknięty. Ale domyślam się, że tu nie chodzi po prostu o przeciwobraz przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;a]}\), a o przeciwobraz części wspólnej tego przedziału i zbioru \(\displaystyle{ f(F_{k})}\), a ten ostatni zbiór nie musi być domknięty i wobec tego cześć wspólna tego zbioru i przedziału nie musi być domknięta.

Nie ma potrzeby rozważać przekroju \(\displaystyle{ (-\infty, a] \cap f(F_k)}\). Z ciągłości \(\displaystyle{ f | F_k}\) wynika, że \(\displaystyle{ \{ x \in F_k : f(x) \leqslant a \}}\) jest (relatywnie) domkniętym podzbiorem \(\displaystyle{ F_k}\), bo ten zbiór to przeciwobraz \(\displaystyle{ (f | F_k)^{-1} \big[ (-\infty, a] \big]}\). Ale skoro \(\displaystyle{ F_k}\) sam jest domknięty, to jego relatywnie domknięte podzbiory są zwyczajnie domknięte.