Matematyka.pl

Czy odrzucając założenie \(\displaystyle{ g(x) < + \infty}\) teza:
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \sup \int_{X} f_{n} \ d \mu \le \int_{X}\lim_{n\rightarrow \infty} \sup f_{n} \ d \mu}\) jest prawdziwa?
Wydaje mi się że nie, ponieważ dowodząc twierdzenie redukujemy \(\displaystyle{ \int_{X} g(x)}\) a jest to możliwe bo \(\displaystyle{ g(x)< + \infty}\).
Czy da się to inaczej uzasadnić?

Rozważ funkcje

\(\displaystyle{ f_n = n^2 \mathbf{1}_{(0,\tfrac{1}{n}]}.}\)

Lewa strona będzie nieskończona, a prawa strona będzie zerem.