Matematyka.pl

Witam, mam problem z końcówką dowodu, który muszę uzupelnic, jeśli ktoś zrozumie to bardzo proszę o pomoc. Dowod z książki Rudina, więc teoretycznie nie powinno byc błędu, ale ja nie rozumiem tej końcówki.
\(\displaystyle{ \lambda}\)-miara Lebesgue'a
Tak więc generalnie miałam udowodnic (to jest we fragmencie dowodu), ze \(\displaystyle{ (D\mu)(x)=f(x) \ \lambda-p.w.}\), czyli, że \(\displaystyle{ \lim_{i\to \infty}\frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}=f(x)}\). Doszłam do momentu, gdzie mam:
\(\displaystyle{ \limsup_{i\to \infty}\frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\leq f(x)}\)
I teraz mam napisane takie dziwne coś:
Biorąc miarę \(\displaystyle{ -\mu}\) zamiast miary \(\displaystyle{ \mu}\) oraz funkcję \(\displaystyle{ -f}\) zamiast \(\displaystyle{ f}\) mamy, że:
\(\displaystyle{ \liminf_{i\to \infty}\frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\geq f(x)}\)
I z tych dwóch nierówności ma wynikac, że granica jest rowna \(\displaystyle{ f(x)}\). Nie rozumiem tylko jakim sposobem, skoro granica dolna jest dla funkcji \(\displaystyle{ -\mu}\) a granica gorna dla \(\displaystyle{ \mu}\). W załozeniach co prawda \(\displaystyle{ \mu}\) byla dowolna rzeczywista absolutnie ciągła wzgledem \(\displaystyle{ \lambda}\) ale co z tego skoro granice dolna i gorna są dla miary jednej dodatniej a drugiej ujemnej. Ktos to rozumie?

Zbierz te nierówności razem i skonfrontuj. Ważne, co wychodzi z miarą \(\displaystyle{ \mu}\)

W tym problem, że dalej nie rozumiem, bo mi wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \liminf_{i\to \infty}\frac{-\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\geq -f(x)}\) ale nie rozumiem z czego wynika, że:
\(\displaystyle{ \liminf_{i\to \infty}\frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\geq f(x)}\), bo mi w dalszym ciągu wychodzi jedynie, że: \(\displaystyle{ \liminf_{i\to \infty}\frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\leq f(x)}\)

A może to pomoże:

\(\displaystyle{ \liminf_{t\to \infty} (-p(t))=-\limsup_{t\to\infty} p(t)}\)

Przepraszam, ale ja chyba jestem debilem, bo dalej nie rozumiem Próbowałam tak, ale w tym wypadku przy zamianie \(\displaystyle{ \liminf}\) na \(\displaystyle{ \limsup}\) wychodzi mi dokładnie to samo co w 1 poście w 1 nierówności czyli, że \(\displaystyle{ \limsup_{i\to \infty} \frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\leq f(x)}\) czyli generalnie dalej nie mam, że \(\displaystyle{ \liminf_{i\to \infty} \frac{\mu(E_{i})}{\lambda(E_{i})}\geq f(x)}\)-- 30 cze 2014, o 10:44 --Już rozumiem, nie w tym miejscu podstawiałam miary (myslałam, ze dopiero w kolejnym kroku trzeba). Dzięki:)