Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją mierzalną określoną na przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \mathcal{J} )}\) , a \(\displaystyle{ \mu}\) niech będzie \(\displaystyle{ s}\)-skończoną miarą określoną na tej przestrzeni. Pokazać

a) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna na \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=0\ \mu}\)- prawie wszędzie

b) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dodatnia na \(\displaystyle{ E}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie) i \(\displaystyle{ \mu (E) > 0}\) , to \(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x)>0}\)

c)Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją mierzalną określoną na przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \mathcal{J} )}\) .
Jeżeli \(\displaystyle{ f > g}\) (\(\displaystyle{ \mu}\) prawie wszędzie), to

\(\displaystyle{ \int_{E} f(x)d \mu (x) > \int_{E} g(x)d \mu (x)}\)

a) Gdyby \(\displaystyle{ \mu(\{x|f(x)>0\})>0}\), to jeden ze zbiorow:
\(\displaystyle{ A_n=\left\{x|f(x)>\frac{1}{n}\right\}}\)
mialby niezerowa miare, to jest dla pewnego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \mu\left(\left\{x|f(x)>\frac{1}{n}\right\}\right)=m>0}\)
wynika to z definicji zbioru miary zero.
Wowczas jednak
\(\displaystyle{ \int_E f d\mu \geqslant \frac 1n\cdot m>0}\),
bo \(\displaystyle{ f}\) nieujemna, czyli sprzecznosc.


b) Tak samo:
\(\displaystyle{ A_n=\left\{x|f(x)>\frac{1}{n}\right\}}\)
\(\displaystyle{ f}\) dodatnia, wiec dla pewnego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \mu\left(\left\{x|f(x)>\frac{1}{n}\right\}\right)=m>0}\)
zatem
\(\displaystyle{ \int_E f d\mu \geqslant \frac 1n\cdot m>0}\),

c) Rozwazamy \(\displaystyle{ f-g}\) i stosujemy a).

Oczywiscie troche tu zgaduje nt. tego, z czego mozna korzystac i jakie wlasnosci maja te miary.