Matematyka.pl

jakie są warunki równoważne mierzalności funkcji?

Obraz i przeciwobraz są mierzalne, co jeszcze? Coś jeszcze da się wymyślić?

Niepokonana pisze: ↑18 wrz 2023, o 00:11 Obraz i przeciwobraz są mierzalne

Skąd ten pomysł? Obraz mało mówi o mierzalności. Funkcja \(\displaystyle{ f:(X,\Sigma_X)\to(Y,\Sigma_Y)}\) jest \(\displaystyle{ (\Sigma_X,\Sigma_Y)}\)-mierzalna, gdy (z definicji) \(\displaystyle{ (\forall B\in \Sigma_Y) f^{-1}\left[ B\right]\in\Sigma_X }\). Co do warunków równoważnych to w całkowitej ogólności takich nie znam. Jest jednak znany warunek równoważny \(\displaystyle{ (\Sigma_X,\Sigma_Y)}\)-mierzalności przy pewnych założeniach; mianowicie, gdyby \(\displaystyle{ \Sigma_Y=\sigma(\mathcal{Y})}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \mathcal{Y} \subset \mathcal{P}(Y)}\), to znaczy \(\displaystyle{ \Sigma_Y}\) byłaby generowana przez rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{Y}}\) to wystarczy sprawdzić \(\displaystyle{ (\forall B\in \mathcal{Y}) f^{-1}\left[ B\right]\in\Sigma_X }\). Co jest zwykle łatwiejsze bo kwantyfikujemy po mniejszym zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{Y}}\), a nie całej \(\displaystyle{ \Sigma_Y}\). Dla funkcji rzeczywistych to szczególnie często się przydaje. Wystarczy sprawdzać Borelowską mierzalność na zbiorach otwartych jako, że \(\displaystyle{ \mathcal{Bor}(\RR)}\) jest generowana właśnie przez zbiory otwarte.