Matematyka.pl

Łatwo widać, że przeliczalne przecięcie sigma ciał jest sigma ciałem.
Ktoś to widzi, bo ja nie? Jak to udowodnić?

To jest prawdziwe nawet dla dowolnych przekrojów. I pokazujesz to tak jak zawsze czyli z definicji. Niech \(\displaystyle{ \mathbf{\Sigma}}\) będzie indeksowaną rodzinną \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał (nad wspólną przestrzenią \(\displaystyle{ X}\)) tzn.: \(\displaystyle{ \mathbf{\Sigma} = \left\{ \Sigma_i:i\in I\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to zbiór indeksów (potencjalnie dowolnej mocy) oraz \(\displaystyle{ \Sigma_i \subseteq \mathcal{P}(X)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Aby pokazać, ze \(\displaystyle{ \bigcap \mathbf{\Sigma} }\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało pokazujemy z definicji trzy rzeczy;

Faktycznie 1. warunek jest oczywisty lol

Skoro A należy do przecięcia, to należy do wszystkich, a że to są sigma ciała, to dopełnienie A też należy do wszystkich, przez co należy do dopełnienia. No i analogicznie dla podpunktu 3, skoro pewna suma należy do wszystkich sigma ciał, to należy do ich przekroju. I piszemy z dowolności wyboru A wynika to i tamto i koniec dowodu.

Niepokonana pisze: ↑29 sie 2023, o 01:47 I piszemy z dowolności wyboru A wynika to i tamto i koniec dowodu.

Jak już to nie z dowolności wyboru \(\displaystyle{ A}\) bo tu nie kwantyfikujesz bezpośrednio po zbiorach (jak w podpunkcie 2) tylko po ciągach zbiorów, więc z dowolności wyboru \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty}}\). Poza tym pisanie tego na końcu dowodu to imho lekka nadgorliwość (ale nie błąd). Wystarczy, że na początku napiszesz, że ustalasz ciąg zbiorów taki, że itd. i to wystarczy. To jest równie jak nie bardziej czytelne. Ale ogólnie to elegancko.

Niepokonana pisze: ↑29 sie 2023, o 01:47 wynika to i tamto i koniec dowodu.

Niezły blef.