Matematyka.pl

\(\displaystyle{ Z: X,Y: \Omega \longrightarrow \mathbb{R} \mbox{ - mierzalne}\\ \\
T: X+Y \mbox{ - mierzalne}}\)

Gdy już pokazałem, że wektor \(\displaystyle{ (X,Y): \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^2}\) jest mierzalny to czy z tego w jakiś oczywisty sposob nie wynika teza?

Brakujaca czesc dowodu (mozna uwazac za oczywiste, ale ostroznosci nigdy nie za wiele):

Niech

\(\displaystyle{ U_a=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y>a\}}\)

Zbior

\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)+Y(\omega)>a\}=\{\omega:(X\times Y)(\omega)\in U_a\}}\)

jest mierzalny, bo \(\displaystyle{ U_a}\) otwarty, a \(\displaystyle{ X\times Y}\) mierzalna. Co konczy argument.

Uwaga: Identyczny argument zadziala dla dowolnej funkcji ciaglej \(\displaystyle{ s:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}}\), to znaczy jesli

\(\displaystyle{ U_a=\{(x,y):s(x,y)>a\}}\),

to zbior

\(\displaystyle{ \{\omega:s(X(\omega),Y(\omega))>a\}=\{\omega:(X\times Y)(\omega)\in U_a\}}\)

jest mierzalny, zatem \(\displaystyle{ s\circ(X\times Y )}\) jest funkcja mierzalna.

Ślicznie. A gdybym chciał to trochę uogólnić, tzn. wyjść poza liczby rzeczywiste, mianowicie udowodnić, że złożenie dowolnej funkcji ciągłej z mierzalną jest mierzalne, to wymyśliłem coś takiego.

Biorę trzy [prawie] dowolne przestrzenie mierzalne

\(\displaystyle{ (X, \mathcal{B}(X)), (Y, \mathcal{B}(Y)), (Z, \mathcal{B}(Z))}\)

oraz funkcje

\(\displaystyle{ f: X \longrightarrow Y \mbox{ - mierzalna}\\
g: Y \longrightarrow Z \mbox{ - ciagla}}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ U \mbox{ - dowolny otwarty w Z}}\)

\(\displaystyle{ (g \circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(U)}_{V})}\)

V - otwarty w Y czyli mierzalny a f mierzalna czyli następny przeciwobraz także jest mierzalny.
Czyli sprawdziłem mierzalność \(\displaystyle{ g \circ f}\) na generatorze sigma ciała co implikuje mierzalność na całym sigma ciele (swoją drogą ciekawe jak taki fakt udowodnić...).
\(\displaystyle{ \square}\)

Dobrze to robię?
No i teraz można się zastanowić z kolejnym [chyba ostatnim] uogólnieniem tzn., zeby w każdym zbiorze wziąść dowolne sigma cialo a niekoniecznie zbiory borelowskie, także by to jakoś ładnie poszło?

Zgadza sie:

\(\displaystyle{ g\circ f}\)

jest mierzalne, o ile \(\displaystyle{ g}\) - ciagla, \(\displaystyle{ f}\) mierzalna. W dowodzie nie uzywasz zadnego specjalnego \(\displaystyle{ \sigma}\) ciala (ani zadnej miary na nim), wiec jest prawdziwe ogolnie. I wystarczy na generatorze.

W tym sensie oryginalny problem z suma ma takie samo rozwiazanie dla funkcji o wartosciach w dowolnej grupie topologicznej z miara (nie znam nazwy).


Ciekawe wydaje sie znalezienie przykladu, ze \(\displaystyle{ f\circ g}\) nie jest mierzalna.

Hmm...

no właśnie w dowodzie korzystam z tego że generatorami wziętych przeze mnie sigma ciał są topologie, a nie mogą się zdarzyć sigma ciała nie związane w żaden sposób z topologią?

Nie wiem czy to co napisze ma sens ale jakby wziąść takie przestrzenie mierzalno-topologiczne:

\(\displaystyle{ (X,\mathcal{F}_X, \tau_X), (Y,\mathcal{F}_Y, \tau_Y), (Z,\mathcal{F}_Z, \tau_Z)}\)

I na nich rozpatrywać \(\displaystyle{ g \circ f}\).


Ja w poprzednim dowodzie wziąłem:

\(\displaystyle{ (X,\sigma(\tau_X), \tau_X), (Y,\sigma(\tau_Y), \tau_Y), (Z,\sigma(\tau_Z), \tau_Z)}\)
I tak czyniąc powiązałem sigma ciała z topologią. Inaczej to nie wiem jak w ogole sie zabrac za sprawdzanie mierzalnosci. Biorę zbiór mierzalny w Z i już staję bo wewnetrzna funkcja jest ciągła i nie wiem czy jego przeciwobraz będzie ciągły albo mierzalny. To może po prostu wtedy to twierdzenie jest nieprawdziwe?

Wowczas twierdzenie jest nieprawdziwe. Wystarczy wziac na przestrzeni Y topologie dyskretna, wtedy kazda funkcja \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow Z}\) jest ciagla.

Twierdzenia laczace teorie miary z ciagloscia zyja sobie w przestrzeniach topologicznych mierzalnych. inaczej nie ma powodu, zeby cokolwiek laczylo wlasnosci topologiczne funkcji z teoriomiarowymi.