zad 1
Czy \(\displaystyle{ \mu^{\star}}\) jest miarą zewnętrzną, zbadać czy jest miarą,
jeśli nie to wyznacz \(\displaystyle{ \mathfrak{m}^{\star}}\)
a) \(\displaystyle{ \mu^{\star} (A)= \begin{cases} 0 \ \ , \ \ A= \emptyset \\ 1 \ \ , \ \ A \ne \emptyset \ \ i \ \ skonczony\\ + \ \ , \ \ A-nieskonczony \end{cases}}\)
b) \(\displaystyle{ \mu^{\star} (A)= \begin{cases} 0 \ \ , \ \ A= \emptyset \\ 1 \ \ , \ \ A \ne \emptyset \end{cases}}\)
zad 2
Własności miary:
Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie miarą określoną na \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\) podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Wtedy:
A) \(\displaystyle{ A,B \in \mathfrak{m}, A \subset B}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)<+ \infty \Rightarrow \mu (B \setminus A)= \mu (B)- \mu (A)}\)
B) \(\displaystyle{ A_n \in \mathfrak{m}, n \in \mathbb{N}, \mu(A_n)<+ \infty}\) oraz
\(\displaystyle{ A_{n+1} \subset A_n, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \mu ( \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_n )= \lim_{x \to \infty} \mu (A_n)}\)
Pytania:
1) czy w A można założyć \(\displaystyle{ \mu (B)<\infty }\) zastąpić \(\displaystyle{ \mu (A)<\infty }\), odp uzasadnij
2) podać przykład, że bez założenia \(\displaystyle{ \exists_{n_0} \mu (A_{n_{0}}< \infty }\) punkt B) nie jest prawdziwy
Proszę o pomoc. Z góry dziękuję