Niech \(\displaystyle{ A = \{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1, 1 − |x| \le y\}}\). Wyznaczyć miarę zbioru \(\displaystyle{ A}\) i obliczyć całki
(a)\(\displaystyle{ \int_{A}(xy+2)d\lambda_2(x,y)}\);
(b)\(\displaystyle{ \int_{A}y \quad d\lambda_2(x,y)}\);
Proszę o pomoc, probuję najpierw znaleźć miarę zbioru i nie jestem pewna, że dobrze to robię:
Znalazłam jak wygląda takie pole (tzn przecięcie dwóch zbiorów), otrzymałam że to jest pole koła o promieniu 1 (środek w (0, 0))
z wyciętym trójkątem(równoramiennym) o podstawie 2, wysokości 1,
Czyli miara to : \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (\pi - 2) }\) ?
Miara zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Miara zbioru
Ostatnio zmieniony 16 cze 2022, o 20:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Miara zbioru
Tak. Co do całek to zamieniłbym na całki iterowane. Ogólnie
\(\displaystyle{ \int_{A}^{} f(x,y)\,\dd \lambda_2(x,y)= \int_{-1}^{0} \int_{x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } f(x,y) \dd y \dd x+ \int_{0}^{1} \int_{-x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } f(x,y) \dd y \dd x. }\)
A jeśli obliczenia będą straszne można spróbować zamienić to na współrzędne biegunowe.
Ostatnio zmieniony 16 cze 2022, o 22:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Re: Miara zbioru
A czy muszę jeszcze coś pokazywać (może powiedzieć coś o tej miarze), czy mogę od razu tak przejść do tego, że ta miara to jest określone powyżej pole?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Miara zbioru
To zależy od tego co jest od Ciebie wymagane. Ja domyślnie założyłem, że \(\displaystyle{ \lambda_2}\) to dwuwymiarowa miara Lebesgue'a. Oczywiście z formalnego punktu widzenia zbiór \(\displaystyle{ A}\) powinien być mierzalny. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest Borelowskim podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\) wszak jest to przekrój przeciwobrazów zbiorów mierzalnych przez funkcje mierzalne:
gdzie \(\displaystyle{ \xi(x,y)=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ \eta(x,y)=y+|x|}\). Poza tym funkcja którą całkujesz też powinna być mierzalna. Co do pola to policzyłem je na palcach bez żadnych twierdzeń ale jeśli chciałbym być maksymalnie formalny to próbował bym skorzystać z Twierdzenia Fubiniego (w ogólnej postaci) wszak funkcja \(\displaystyle{ \chi_{A}:[-1,1]^2\to \RR }\) jest całkowalna względem miary produktowej \(\displaystyle{ \lambda_2=\lambda\otimes \lambda }\) jako, że jest mierzalna i ograniczona. Więc
i po żmudnych obliczeniach powinno wyjść to co można policzyć na palcach. Tak jak mówiłem. Nie wiem jakiego stopnia formalności się od Ciebie oczekuje. Starałem się być trochę bardziej formalny ale po drodze przemilczałem i pewnie zapomniałem o pewnych niuansach więc sprawdzenie wszystkich założeń zostawiam jako ćwiczenie dla chętnych.
\(\displaystyle{ \begin{split}
A & = \{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1, 1 − |x| \le y\} \\
& =\{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1\} \cap \{(x, y) \in \RR^2: 1 − |x| \le y\} \\
&= \xi^{-1}\left[ \left(-\infty , 1\right] \right] \cap \eta^{-1} \left[ \left[ 1,\infty \right) \right],
\end{split}}\)
A & = \{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1, 1 − |x| \le y\} \\
& =\{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1\} \cap \{(x, y) \in \RR^2: 1 − |x| \le y\} \\
&= \xi^{-1}\left[ \left(-\infty , 1\right] \right] \cap \eta^{-1} \left[ \left[ 1,\infty \right) \right],
\end{split}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \xi(x,y)=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ \eta(x,y)=y+|x|}\). Poza tym funkcja którą całkujesz też powinna być mierzalna. Co do pola to policzyłem je na palcach bez żadnych twierdzeń ale jeśli chciałbym być maksymalnie formalny to próbował bym skorzystać z Twierdzenia Fubiniego (w ogólnej postaci) wszak funkcja \(\displaystyle{ \chi_{A}:[-1,1]^2\to \RR }\) jest całkowalna względem miary produktowej \(\displaystyle{ \lambda_2=\lambda\otimes \lambda }\) jako, że jest mierzalna i ograniczona. Więc
\(\displaystyle{ \lambda_2(A)= \int_{[-1,1]^2}^{} \chi_{A}(x,y) \, \dd \lambda_2 (x,y) = \int_{-1}^{0} \int_{x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } \dd y \dd x+ \int_{0}^{1} \int_{-x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } \dd y \dd x }\)
i po żmudnych obliczeniach powinno wyjść to co można policzyć na palcach. Tak jak mówiłem. Nie wiem jakiego stopnia formalności się od Ciebie oczekuje. Starałem się być trochę bardziej formalny ale po drodze przemilczałem i pewnie zapomniałem o pewnych niuansach więc sprawdzenie wszystkich założeń zostawiam jako ćwiczenie dla chętnych.
Ostatnio zmieniony 17 cze 2022, o 01:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Re: Miara zbioru
A jeśli to robić współrzędnymi biegunowymi to promień jest od \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) do \(\displaystyle{ 1 }\) i kąt od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)?
Ostatnio zmieniony 17 cze 2022, o 10:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Poprawa wiadomości: kąt.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Poprawa wiadomości: kąt.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Miara zbioru
Promień nie może być od \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) bo po pierwsze to jest więcej niż \(\displaystyle{ 1}\), a po drugie i ważniejsze dolna granica całkowania to będzie się zmieniać w zależności od kąta. Nie całkujesz po wycinku pierścienia. Z moich obliczeń:
\(\displaystyle{ \phi\in [0,\pi/2] \qquad \& \qquad \frac{1}{\sin \phi + \cos \phi} \le r \le 1,}\)
\(\displaystyle{ \phi\in [\pi/2,\pi] \qquad \& \qquad \frac{1}{\sin \phi- \cos \phi} \le r \le 1.}\)