Miara B a miara B'

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Miara B a miara B'

Post autor: Tomasz22 »

Patrząc na dowód poniższego twierdzenia 1, zapisz "coś z dopełnieniem" (autentyczne słowa prowadzącego) czyli z \(\displaystyle{ B'}\).

TW. 1 Niech \(\displaystyle{ (X, F, \mu)}\) będzie przestrzenią z miarą i niech \(\displaystyle{ A \in F}\). Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR_+\cup\{ +\infty, -\infty\}}\) będzie taką funkcją \(\displaystyle{ F}\) - mierzalną, że zbiór
\(\displaystyle{ B := \{x \in A: f(x) > 0\}}\)
ma ściśle dodatnią miarę. Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) niech
\(\displaystyle{ B_{n} := \left\{ x \in A: f(x) > \frac{1}{n}\right\}. }\)

Wówczas istnieje \(\displaystyle{ N\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \mu (B_{N}) > 0.}\)

TW.2 Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem i niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR_+\cup\{ +\infty, -\infty\}}\). Niech \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ B := \{x \in A: f(x) > 0\}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) niech
\(\displaystyle{ B_{n} := \left\{ x \in A: f(x) > \frac{1}{n}\right\}. }\)
Wówczas:
(i) ciąg \(\displaystyle{ (B_{n})_{n=1}^{+\infty} }\) jest wstępującym ciągiem zbiorów,
(ii) \(\displaystyle{ B = \bigcup_{n=1}^{+\infty} B_{n}. }\)

DOWÓD:
Oczywiście, zbiory \(\displaystyle{ B, B_{1}, B_{2}, B_{3}, ... \in F}\). Na mocy tw. 2 mamy, że
\(\displaystyle{ B = \bigcup_{n=1}^{+\infty} B_{n}}\).

Załóżmy, że nie jest prawdą, że istnieje \(\displaystyle{ N\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \mu(B_{N}) > 0 }\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego mamy, że \(\displaystyle{ \mu(B_{N}) = 0 }\). Skoro \(\displaystyle{ \mu(B) > 0 }\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego mamy, że \(\displaystyle{ \mu(B_{N}) = 0}\), więc na mocy tw. o podaddytywności miary mamy, że
\(\displaystyle{ 0 < \mu(B) = \mu( \bigcup_{n=1}^{+\infty} B_{n}) \le \sum_{n=1}^{+\infty} \mu(B_{n}) = \sum_{n=1}^{+\infty} 0 = 0}\).
W szczególności, mamy, że \(\displaystyle{ 0 < 0}\), co jest sprzecznością. Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem, rzeczywiście, istnieje \(\displaystyle{ N\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \mu(B_{N}) > 0}\). To kończy dowód.
Ostatnio zmieniony 16 lis 2022, o 21:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Bardzo niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
ODPOWIEDZ