Matematyka.pl

Jak pokazać że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \inf}\) nie może być zastąpiony przez \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty } \sup}\) w lemacie Fatou?

Znaleźć kontrprzykład. Niedawno pomagałem w weryfikacji kontrprzykładu dla twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej. Sprawdź czy czasem ten przykład nie działa. Ja nie będę tego robił.

Tu masz link: https://www.matematyka.pl/375978.htm

Graficznie to jest bardzo łatwe do odgadnięcia. Powiedzmy, że chemy mieć ciąg funkcji o tej własności, że w każdym punkcie limes superior będzie równe 1, ale mimo to ich całki będą małe (np. zbiegające do 0). Spróbujmy to zrobić tak żeby się nie narobić.

Niech \(\displaystyle{ (q_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) rozważmy zbiory

\(\displaystyle{ D_n = [q_n - \frac{1}{n}, q_n + \frac{1}{n}]\cap [0,1]}\)

Niech \(\displaystyle{ f_n = \mathbf{1}_{D_n}}\). Z gęstości zbioru liczb wymiernych mamy

\(\displaystyle{ f(x) = \limsup_{n\to \infty} f_n(x) = 1.}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\, {\rm d}x = 1}\).

Jednakże

\(\displaystyle{ \int_0^1 f_n(x)\,{\rm d}x \leqslant \frac{2}{n}\to 0}\)

gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\). Powyższy przykład można łatwo zmodyfikować by wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) były ciągłe.