Matematyka.pl

Nie wiem czy to dobry dział, ale mam nadzieję, że tak. Zastanawiam się, jak udowodnić, że każda kula jest zbiorem wypukłym. Wykładowca na 3 semestrze analizy zostawił to jako ćwiczenie dla chętnych, a za bardzo nie wiem jak to ugryźć.

Chyba tak, zdaje mi się, że umiem to ująć w słowa, chociażby geometrycznie: chce udowodnić, że w każdej kuli odcinek łączący dwa dowolne punkty nie wyjdzie poza tą kulę. Ale nie bardzo wiem jak to uzasadnic w języku analizy. W którym miejscu z nierówności trójkąta skorzystać?
Znaczy się nie jest to pilne; nie jest to zadanie domowe, ale chciałbym potrenować zadania tego typu a nie mam za bardzo jakoś pomysłu..

Niech \(\displaystyle{ x,y}\) należą do pewnej kuli o środku w zerze. Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) takie, że \(\displaystyle{ tx + (1-t)y}\) leży poza kulą. I tu korzystasz z nierówności trójkąta, by pokazać, że jednak ten punkt mus iw tej kuli leżeć/

Przepraszam, że odświeżam stary temat, ale dość łatwo tu trafić poprzez popularną wyszukiwarkę chcąc znaleźć informacje o wypukłości kul, więc chyba warto skomentować zadanie. Wydaje mi się, że nie da się go rozwiązać, gdyż po prostu teza w nim zawarta jest nieprawdziwa. Rozważmy np. metrykę na zbiorze liczb rzeczywistych zadaną wzorem:
\(\displaystyle{ d(x,y) = \begin{cases} 0, & x = y\\|x-2| + |y-2|, & x \neq y \end{cases} }\)
oraz kulę:
\(\displaystyle{ B(0,3) = \left\{ x: d(x,0) < 3\right\} = \left\{ 0 \right\} \cup (1,3) }\).
Nie jest to zbiór wypukły, bo np.
\(\displaystyle{ 0 \in B(0,3), 2 \in B(0,3)}\),
ale
\(\displaystyle{ 0,6 \cdot 0 + 0,4 \cdot 2 = 0,8 \notin B(0,3)}\).
Proszę mnie poprawić, jeśli moje rozumowanie jest błędne. Jeżeli jednak mam rację, to osobę bardziej ogarniętą prosiłbym o dookreślenie w jakich przestrzeniach kule muszą być wypukłe. Z pewnością jest tak w przestrzeni euklidesowej. Wydaje mi się, że musi tak być również w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej, gdzie metryka pochodzi od normy. Czy jest to prawda? Czy rozszerza się to na przestrzenie nieskończenie wymiarowe?

Kule są wypukłe w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

No dobra, na część pytań chyba sobie sam odpowiedziałem. Jeżeli mamy do czynienia z przestrzenią unormowaną, to dla każdych
\(\displaystyle{ a,b \in B(x,r)}\)
zachodzi
\(\displaystyle{ ||x-a|| < r, \ ||x-b|| < r}\),
a więc
\(\displaystyle{ ||x - [ta + (1-t)b]|| = ||t(x-a) + (1-t)(x-b)|| \leq t||x-a|| + (1-t)||x-b|| < r}\),
czyli dla każdych \(\displaystyle{ a,b \in B(x,r)}\) również \(\displaystyle{ ta + (1-t)b \in B(x,r)}\), jeżeli \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\).
Zatem kula jest zbiorem wypukłym.
Wciąż pozostaje pytanie czy istnieje jakaś szersza "ładna" klasa przestrzeni metrycznych, która to spełnia?

Edit: ups, nie zauważyłem odpowiedzi powyżej, przepraszam i sedecznie za nią dziękuję.